第05讲 函数的三要素【秋季讲义】（人教A版2019必修第一册）（解析版）_1.docx

第05讲函数的三要素

【人教A版2019】

·模块一定义域问题

·模块二值域问题

·模块三解析式问题

·模块四课后作业

模块一

模块一

定义域问题

1．函数的概念

(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA.

(2)函数的四个特征：

①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.

②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.

③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.

④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定

的关系就不一定是函数关系.

2．函数的三要素

(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．

(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).

(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．

3．抽象函数的定义域

(1)抽象函数小括号内整体取值范围一致；

(2)定义域是指自变量x的取值范围.

【考点1具体函数的定义域求解问题】

【例1.1】（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）函数fx=x

A．x∈R B

C．x∈-4,0

【解题思路】根据函数定义域的定义，结合二次根式的定义以及分母的性质，建立不等式组，可得答案.

【解答过程】由题意可得：x+4≥01-x

故选：D.

【例1.2】（2023·北京·高三统考学业考试）已知函数fx=x+a．若y

A．0,+∞ B．

C．1,+∞ D．

【解题思路】利用点在函数的图象上及偶次根式有意义即可求解.

【解答过程】因为函数fx

所以0+a=0，解得

所以函数fx的解析式为f

要使fx=x

所以fx的定义域为0,+

故选：A.

【变式1.1】（2022秋·广东深圳·高一校考期中）若函数fx=xmx2-

A．0,8 B．8,+

C．0,8 D．-

【解题思路】由题意，问题转化为一次或者二次不等式恒正的问题，先检验一次不等式是否符合题意，对于二次不等式，联立二次项系数范围，判别式范围求解.

【解答过程】∵函数fx=xmx2-mx+2

若m=0，不等式转化为：20

若m≠0，要使mx2-mx+20对任意实数x恒成立，则

故选：A.

【变式1.2】（2023·河北衡水·河北校考模拟预测）已知函数y=fx的定义域为0,4，则函数y

A．1,5 B．1,2∪2,5 C．1,2∪

【解题思路】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.

【解答过程】因为函数y=fx的定义域为0,4

则有0≤x+1≤4x-10

所以函数y=f(

故选：C.

【考点2抽象函数求定义域】

【例2.1】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx的定义域为0,6，则函数f

A．0,3 B．1,3∪3,8 C．1,3 D

【解题思路】由函数f（x）的定义域为0,6求出函数f（2x）的定义域，再由分式的分母不等于0，则函数f2

【解答过程】函数f（x）的定义域为0,6,

由0≤2x≤6，解得0≤x≤3．

又x-3≠0，

所以函数f2xx

故选：D．

【例2.2】（2023·江苏镇江·扬中市校考模拟预测）若函数y=f2x的定义域为-2,4

A．-2,2 B．

C．-4,4 D．

【解题思路】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数fx的定义域，对于函数y=fx-f

【解答过程】因为函数y=f2x的定义域为-2,4

所以，函数y=fx

对于函数y=fx-f

因此，函数y=fx

故选：C.

【变式2.1】（2022秋·福建福州·高一校考期中）已知函数fx+2的定义域为-1,3，则f

A．-1,1 B．

C．(-2,0) D．0,2

【解题思路】根据抽象函数定义域求法，即可求其定义域.

【解答过程】设x+2=t，则

因为函数fx+2的定义域为-1,3，所以当-1x3时，fx+2有意义，所以1x+25，故当且仅当1t5时，函数

所以函数f2x-

故选：B.

【变式2.2】（2022秋·广东广州·高一校考期中）函数f2x+1的定义域为-32

A．1,4 B．0,5 C．0,20 D．1,9

【解题思路】根据抽象函数的定义域的求法，列出不等式组，即可求解.

【解答过程】由f2x+1的定义域为-32,1

则函数g(x)=f(x-

所以函数g(x)=

故选：A．

模块二

模块二

值域问题

1．复合函数的值域

求复合函数的值域是由内向外逐层求解，先看整个函数的定义域，再依次从内层开始求每层的值域，每一个内层的值域都对应它外面一