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江苏省无锡市市北高级中学2025年高三全国统一考试仿真卷(四)数学试题试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如:,,,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数,其和等于16的概率为()
A. B. C. D.
2.若实数满足不等式组,则的最大值为()
A. B. C.3 D.2
3.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为,则下列结论正确的是()
A. B. C. D.
4.在中,,,,则在方向上的投影是()
A.4 B.3 C.-4 D.-3
5.下列判断错误的是()
A.若随机变量服从正态分布,则
B.已知直线平面,直线平面,则“”是“”的充分不必要条件
C.若随机变量服从二项分布:,则
D.是的充分不必要条件
6.某市政府决定派遣名干部(男女)分成两个小组,到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作,若要求每组至少人,且女干部不能单独成组,则不同的派遣方案共有()种
A. B. C. D.
7.已知集合A={x|x1},B={x|},则
A. B.
C. D.
8.设,集合,则()
A. B. C. D.
9.中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位:万公里)的折线图,以下结论不正确的是()
A.每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关
C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上
D.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列
10.若集合,则()
A. B.
C. D.
11.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育;“乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“乐”不排在第一节,“射”和“御”两门课程不相邻,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()种.
A.408 B.120 C.156 D.240
12.已知,,,则的大小关系为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在中,角所对的边分别为,为的面积,若,,则的形状为__________,的大小为__________.
14.如果复数满足,那么______(为虚数单位).
15.设,满足约束条件,则的最大值为______.
16.已知等差数列的前n项和为Sn,若,则____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分别是AC,B1C1的中点.求证:
(1)MN∥平面ABB1A1;
(2)AN⊥A1B.
18.(12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下:抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次,若掷得点数大于,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖,已知抽奖箱中装有个红球与个白球,抽奖者从箱中任意摸出个球,若个球均为红球,则获得一等奖,若个球为个红球和个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球,除颜色外均相同).
若,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;
若一等奖可获奖金元,二等奖可获奖金元,三等奖可获奖金元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为,若商场希望的数学期望不超过元,求的最小值.
19.(12分)设数列,其前项和,又单调递增的等比数列,,.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前n项和,并求证:.
20.(12分)底面为菱形的直四棱柱,被一平面截取后得到如图所示的几何体.若,.
(1)求证:;
(2)求二面角的正弦值.
21.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程
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