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样本均值平方的方差

根据定义，样本均值的方差为总体方差除以样本大小，即：\frac{\sigma^2}{n}，其中\sigma^2是总体方差，n是样本大小。

而样本均值平方可以表示为：

\overline{X^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2

将X_i^2展开可得：

\overline{X^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X}+\overline{X})^2

展开并移项可得：

\overline{X^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2+\overline{X}^2

其中第一项为样本方差s^2，第二项为样本均值的平方\overline{X}^2。

因此，样本均值平方的方差为：

Var(\overline{X^2})=Var(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2+\overline{X}^2)

根据方差的性质，可以将上式展开得：

Var(\overline{X^2})=Var(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2)+Var(\overline{X}^2)+2Cov(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2,\overline{X}^2)

由于\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2是样本方差s^2，因此第一项为：

Var(s^2)=Var(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2)=\frac{2\sigma^4}{(n-1)^2(n-2)}

第二项为\overline{X}的方差，即\frac{\sigma^2}{n}。

第三项为协方差，可以计算得：

Cov(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2,\overline{X}^2)=\frac{(n-2)\sigma^4}{n(n-1)^2}

因此，将三项代入原式可得：

Var(\overline{X^2})=\frac{2\sigma^4}{(n-1)^2(n-2)}+\frac{\sigma^2}{n}+\frac{(n-2)\sigma^4}{n(n-1)^2}

化简可得：

Var(\overline{X^2})=\frac{\sigma^4(n^2-1)}{n^3(n-1)^2}