专题05构造新图或用公式求函数值(原卷版+解析).docxVIP

专题05构造新图或用公式求函数值

1．折纸不仅可以帮助我们进行证明，还可以帮助我们进行计算．小明取了一张正方形纸片，按照如图所示的方法折叠（如图①②③）：

重新展开后得到如图所示的正方形ABCD（如图④），BD、BE、EF为前面折叠的折痕．小亮观察之后发现利用这个图形可以求出45°、22.5°等角的三角函数值．请你直接写出tan67.5°=_____．

2．阅读下面材料：

小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在中，，，则______

小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形如图，他发现不是特殊角，但它是特殊角的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题于是小天尝试着在CB边上截取，连接如图，通过构造有特殊角的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：______．

参考小天思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等腰?中，，，请借助，构造出的角，并求出该角的正切值．

3．在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．

(1)初步尝试：我们知道：tan60°＝，tan30°＝，发现结论：tanA2tan∠A（填“＝”或“≠”）；

(2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan∠A；

小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．

请按小明的思路进行余下的求解：

(3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．求tan2A的值．

4．在学习苏科版九下《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．

（1）初步尝试：我们知道：tan60°＝，tan30°＝，发现结论：tanA2tan∠A（填“＝”或“≠”）；

（2）实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan∠A的值；小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，连接BD，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值．

请按小明的思路进行余下的求解：

（3）拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝．

①tan2A＝；

②求tan3A的值．

5．阅读下列材料：

在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）．

聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出．

阅读以上内容，回答下列问题：

在中，．

（1）如图3，若，则__，_____；

（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含的式子表示）．

6．在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．

（1）初步尝试：我们知道：______，______，发现结论：______；（选填“=”或“≠”）

（2）实践探究：如图1，在中，，，求的值；

小明想构造包含的直角三角形：延长至点D，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路进行余下的求解；

（3）拓展延伸：如图2，在中，．求的值．

7．同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式：

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝

(1)试仿照例题，求出cos15°的准确值；

(2)我们知道，tanα＝，试求出tan15°的准确值．

8．对钝角α，定义三角函数值如下：

sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)．

(1)求sin120°，cos120°的值；

(2)若一个钝角三角形的三个内角比是1：1：4，点A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数．

9．【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①；②；③．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如．

【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：

(1)求的值；

(2)如图，一架直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为，求建筑物的高；

(3)疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点处往正东方向飞多