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2023届浙江省宁波市余姚市余姚中学高三第一次联合考试数学试题试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足(是虚数单位),则=()
A. B. C. D.
2.如图,正方体的棱长为1,动点在线段上,、分别是、的中点,则下列结论中错误的是()
A., B.存在点,使得平面平面
C.平面 D.三棱锥的体积为定值
3.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为,若低于60分的人数是18人,则该班的学生人数是()
A.45 B.50 C.55 D.60
4.已知函数,若函数的极大值点从小到大依次记为,并记相应的极大值为,则的值为()
A. B. C. D.
5.函数且的图象是()
A. B.
C. D.
6.正三棱柱中,,是的中点,则异面直线与所成的角为()
A. B. C. D.
7.已知变量x,y间存在线性相关关系,其数据如下表,回归直线方程为,则表中数据m的值为()
变量x
0
1
2
3
变量y
3
5.5
7
A.0.9 B.0.85 C.0.75 D.0.5
8.已知i为虚数单位,则()
A. B. C. D.
9.已知椭圆的短轴长为2,焦距为分别是椭圆的左、右焦点,若点为上的任意一点,则的取值范围为()
A. B. C. D.
10.若复数满足,则()
A. B. C. D.
11.如图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是()
A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.
B.与去年同期相比,2017年第一季度的GDP总量实现了增长.
C.2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D.去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元.
12.设m,n为直线,、为平面,则的一个充分条件可以是()
A.,, B.,
C., D.,
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.某高校组织学生辩论赛,六位评委为选手成绩打出分数的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分,去掉一个最低分,则所剩数据的平均数与中位数的差为______.
14.如图,直线平面,垂足为,三棱锥的底面边长和侧棱长都为4,在平面内,是直线上的动点,则点到平面的距离为_______,点到直线的距离的最大值为_______.
15.如图,在三棱锥中,平面,,已知,,则当最大时,三棱锥的体积为__________.
16.若函数(R,)满足,且的最小值等于,则ω的值为___________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)设,函数,其中为自然对数的底数.
(1)设函数.
①若,试判断函数与的图像在区间上是否有交点;
②求证:对任意的,直线都不是的切线;
(2)设函数,试判断函数是否存在极小值,若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
18.(12分)已知数列{an}的各项均为正,Sn为数列{an}的前n项和,an2+2an=4Sn+1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn,求数列{bn}的前n项和.
19.(12分)某客户准备在家中安装一套净水系统,该系统为二级过滤,使用寿命为十年如图所示两个二级过滤器采用并联安装,再与一级过滤器串联安装.
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中,一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立).若客户在安装净水系统的同时购买滤芯,则一级滤芯每个160元,二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯则一级滤芯每个400元,二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量,为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表,其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表,图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.
表1:一级滤芯更换频数分布表
一级滤芯更换的个数
8
9
频数
60
40
图2:二级滤芯更换频数条形图
以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率,以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.
(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰
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