1.5 平面上的距离（十二大题型）（解析版）.docxVIP

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1．5平面上的距离

课程标准

学习目标

（1）能用坐标法、向量方法推导平面上两点间距离公式，体会向量法和几何法各自的特点，发展逻辑推理、数学运算素养．

（2）能用两点间距离公式解决问题，能通过具体例子解释用两点间距离公式解决问题的基本步骤，发展数学运算素养．

（1）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、平行直线间的距离公式并会应用.

（2）会用坐标法证明简单的平面几何问题．

知识点一：中点坐标公式

若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式．

【即学即练1】（2024·高一·北京·期中）已知点，，则线段中点的坐标为.

【答案】

【解析】点，，所以线段中点的坐标为.

故答案为：

知识点二：两点间的距离公式

两点间的距离公式为．

知识点诠释：

此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握．

【即学即练2】（2024·高二·新疆喀什·期中）已知，则（????）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【解析】因为，

则,

故选：

知识点三：点到直线的距离公式

点到直线的距离为．

知识点诠释：

（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；

（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；

（3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等．

【即学即练3】（2024·高二·全国·假期作业）已知点到直线的距离为，则点的坐标为（????）

A． B． C．或 D．

【答案】C

【解析】直线可化为，依题意得，整理得，所以或-1．当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，故选C．

知识点四：两平行线间的距离

本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为．

知识点诠释：

（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；

（2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．

【即学即练4】（2024·高二·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是.

【答案】

【解析】由直线与直线互相平行，得，

则直线与直线的距离为：.

故答案为：

题型一：中点公式

【典例1-1】（2024·浙江嘉兴·高二统考期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为.

【答案】

【解析】因为直线与直线和的交点分别为，

设，

因为点是线段的中点，由中点公式可得，

解得，所以直线的斜率为，

所以直线的方程为，即.

故答案为：.

【典例1-2】（2024·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期末）直线过点且与轴?轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为.

【答案】

【解析】设点?，

由中点坐标公式得：，

解得：，，

由直线过点?，

直线的方程为：，

即.

故答案为：.

【方法技巧与总结】

两点、，且线段的中点坐标为，则，

【变式1-1】（2024·高二·江苏连云港·期末）过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，则直线的方程是．

【答案】

【解析】设线段的中点为,因为点到与的距离相等,

故，解得,则点．

直线的方程为,即．

故答案为：

【变式1-2】（2024·北京西城·高二统考期末）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为.

【答案】

【解析】因为，所以线段的中点，且.

所以与垂直的直线的斜率为，

所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即.

故答案为：

【变式1-3】（2024·江苏连云港·高二期末）过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，则直线的方程是．

【答案】

【解析】设线段的中点为,因为点到与的距离相等,

故，解得,则点．

直线的方程为,即．

故答案为：

【变式1-4】（2024·江苏·高二海安高级中学校考开学考试）直线l被两条直线l1：4x+y+3＝0和l2：3x﹣5y﹣5＝0截得的线段的中点为P（﹣1，2），则直线l的斜率为.

【答案】

【解析】设直线l与的交点为，直线l与的交点为.

由已知条件，得直线l与的交点为，

联立，

即，解得，

所以，，，

直线l的斜率，

故答案为：.