1.4 两条直线的交点（七大题型）（解析版）.docxVIP

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1．4两条直线的交点

课程标准

学习目标

（1）能用自己的语言解释两条直线的交点坐标与两条直线的方程之间的关系，

（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，能根据方程组解的个数判断两条直线的位置关系．

（1）会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

（2）会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．

知识点01直线的交点

求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标．

知识点诠释：

求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．

【即学即练1】（2024·高二·天津·期中）两直线的交点坐标是：.

【答案】

【解析】联立两直线方程可得.

故答案为：

知识点02过两条直线交点的直线系方程

一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．

过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．

【即学即练2】（2024·高二·全国·专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程：

(1)斜率为；

(2)过点；

(3)平行于直线．

【解析】（1）法一:直线与的交点为，

当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为．

直线方程为．

法二:由题意，直线不符合题意，

所以由直线系方程可设所求直线为

，

当直线的斜率为时，，解得，

故所求直线方程为；

（2）法一：过点时，由两点式得：即为．

直线方程为．

法二：由题意，直线不符合题意，

过点时，代入（1）中直线系方程得，

故所求直线方程为．

（3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为，

直线方程为．

法二：由题意，直线不符合题意，

平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得,

故所求直线方程为．

题型一：求直线的交点

【典例1-1】（2024·高二·上海·阶段练习）两直线和的交点为．

【答案】

【解析】由题意可得，解得，

交点坐标为.

故答案为：

【典例1-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为.

【答案】

【解析】联立，解得.

直线和的交点为.

故答案为：

【方法技巧与总结】

判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．

（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．

（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．

（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．

【变式1-1】（2024·高二·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值．

【答案】答案不唯一（只需写出中的一个即可）

【解析】解方程组，得，所以与的交点坐标为；

由得，直线恒过定点；若直线不能围成三角形，

只需经过，或与平行，或与平行.

当经过时，图1所示，，；

当与平行时，图2所示，，；

当与平行时，图3所示，，.

故答案为：；或或（只需写出中的一个即可）.

图1

图2

图3

【变式1-2】（2024·高二·四川成都·期中）已知直线与交于点，则．

【答案】

【解析】由得，所以，

，

故答案为：3.

题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系

【典例2-1】（2024·高二·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（????）

A．无论，，如何，总是无解

B．无论，，如何，总有唯一解

C．存在，，，使是方程组的一组解

D．存在，，，使之有无穷多解

【答案】B

【解析】直线的斜率存在，

∴，

由题意，

则，

故：与：相交，

∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；

若是方程组的一组解，则，

则点，在直线，即上，

但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线，

∴不可能是方程组的一组解，C错误.

故选：B.

【典例2-2】（2024·高二·全国·单元测试）已知直线，是直线l外一点，那么直线（????）

A．过点P且与直线l斜交

B．过点P且与直线l重合

C．过点P且与直线l平行

D．过点P且与直线l垂直

【答案】C

【解析】在直线外，所以，

方程与两变量的系数完全相同，而，即常数项不同，

它们的方程组成的方程组无解，所以两直线的位置关系是平行，