1.3 两条直线的平行与垂直（九大题型）（解析版）.docxVIP

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1．3两条直线的平行与垂直

课程标准

学习目标

（1）能说明两条直线平行或垂直（几何关系）与两条直线斜率的关系（代数关系）的内在统一性，能根据斜率判定两条直线平行或垂直．

（2）能利用两条直线平行或垂直的条件解决问题，体会坐标法思想，发展直观想象、数学运算等素养．

（1）理解并掌握两条直线平行与垂直的条件．

（2）会运用条件判定两直线是否平行或垂直．

（3）运用两直线平行或垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题．

知识点01两条直线相交、平行与重合

1、代数方法判断

两条直线的位置关系，可以用方程组

的解进行判断（如下表所示）

方程组的解

位置关系

交点个数

代数条件

无解

平行

无交点

而或

或

有唯一解

相交

有一个交点

或

有无数个解

重合

无数个交点

或

2、几何方法判断

（1）若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行．

（2）若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：

设，

（1）与相交；

（2）且；

（3）与重合且．

简记表：

类型

斜率存在

斜率不存在

条件

对应关系

两直线斜率都不存在

图示

【即学即练1】（2024·高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：．

【解析】证明：由题意得直线的斜率为，

直线的斜率为，

又，,

即不共线，即不重合，

因为，∴.

知识点02两条直线的垂直

1、两条直线垂直的几何方法判断

对应关系

与的斜率都存在，分别为，则

与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是

图示

2、两条直线垂直的代数方法判断

已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0）

（1）若

（2）若

【即学即练2】解答下列各题：

(1)已知四点，，，，求证：；

(2)已知直线，，求证：．

【解析】（1）由斜率公式，得，，

则，所以．

（2）由，的方程可知，它们的斜率，，

从而，所以．

题型一：两条直线平行的判定

【典例1-1】（2024·高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行．

(1)经过点，，经过点，；

(2)的斜率为，经过点，；

(3)平行于轴，经过点，；

(4)经过点，，经过点，．

【解析】（1），，，所以与不平行．

（2）的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合．

（3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以.

（4）由题意，知，,

，所以与平行或重合．

需进一步研究，，，四点是否共线，.

所以，，，四点共线，所以与重合．

【方法技巧与总结】

判断两条不重合直线是否平行的步骤

【典例1-2】（2024·高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由：

(1)，；

(2)，．

【解析】（1）由直线，的方程可知两直线的斜率分别为，

又直线，在y轴上的截距分别为1和，

所以与不重合，从而；

（2）由直线，的方程可知两直线的斜率分别为，

所以与不平行．

【变式1-1】（2024·高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．

(1)经过点，经过点；

(2)经过点，经过点；

(3)的倾斜角为，经过点；

(4)平行于轴，经过点．

【解析】（1）由题意知，，

所以直线与直线l2平行或重合，

又，故．

（2）由题意知，，所以直线与直线平行或重合，

又，故直线与直线重合．

（3）由题意知，，则，

所以直线与直线平行或重合．

（4）由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以．

【变式1-2】（2024·高二·江苏·假期作业）判断下列各题中直线与是否平行．

(1)经过点，，经过点，；

(2)经过点，，经过点，．

【解析】（1）因为经过点，，所以，

又经过点，，所以，

因为，所以与不平行；

（2）直线经过点，的方程为，

直线经过点，的方程为，

故直线和直线平行；

题型二：求与已知直线平行的直线方程

【典例2-1】求过点，且与直线平行的直线的方程．

【解析】已知直线的斜率是，

因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是．

根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为，

即．

【典例2-2】（2024·高二·江苏盐城·期中）已知直线l1：3x+y+2=0；l2：mx+2y+n=0．

(1)若l1⊥l2，求m的值；

(2)求过点且与直线l1平行的直线的方程；

【解析】（1）因为l1⊥l2，

所以3m+2=0，解得.

（2）因为所求直线与直线l1平行，所以设所求直线方程为3x+y+c=0，

把点代入，得3+2+c=0，解得，

故过点且与直线l1平行的直线的方程为.

【方法技巧与总结】

与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程．

【变式2-1】（2024·高一·新疆哈密·期中