1.1 直线的斜率与倾斜角（四大题型）（解析版）.docxVIP

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1.1直线的斜率与倾斜角

课程标准

学习目标

在探索确定直线位置的几何要素、定义直线的倾斜角和斜率的概念、推导过两点的直线斜率的计算公式的过程中，体会坐标法思想，发展数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等素养．

1、理解并掌握直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．

2、理解并掌握直线的斜率．

3、理解并掌握直线的斜率的求法．

4、理解并掌握斜率公式的简单应用．

知识点01直线的倾斜角

平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角．

规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是．

知识点诠释：

1、要清楚定义中含有的三个条件

①直线向上方向；

②轴正向；

③小于的角．

2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．

3、倾斜角的范围是．当时，直线与x轴平行或与x轴重合．

4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应．

5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置．

【即学即练1】（2024·高二·上海·期中）平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（????）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为.

故选：C

知识点02直线的斜率

1、定义：

倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．

知识点诠释：

（1）当直线与x轴平行或重合时，，；

（2）直线与x轴垂直时，，k不存在．

由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．

2、直线的倾斜角与斜率之间的关系

由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．

【即学即练2】（2024·高二·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，所以，

设直线的倾斜角为，则，又，

所以，即直线的倾斜角为.

故选：D

知识点03斜率公式

已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式．

知识点诠释：

1、对于上面的斜率公式要注意下面五点：

（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；

（2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；

（3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

（4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；

（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：

（1）由、点的坐标求的值；

（2）已知及中的三个量可求第四个量；

（3）证明三点共线．

【即学即练3】（2024·高二·江苏·专题练习）若三点，，(其中)共线，则.

【答案】

【解析】由于，，三点共线且、，

显然、的斜率存在，则，

所以，所以，所以.

故答案为：

题型一：直线的倾斜角与斜率定义

【典例1-1】（2024·高二·西藏山南·期末）经过点和的直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设经过点和的直线的的斜率为，倾斜角为，

由两点斜率公式可得，

所以，又，

所以.

所以经过点和的直线的倾斜角为.

故选：D.

【典例1-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线的倾斜角为，则的值是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，

所以

.

故选：B.

【方法技巧与总结】

（1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②轴的正方向；③小于平角的正角．

（2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于轴正方向的倾斜程度．

（3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；

倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．

（4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．

【变式1-1】（2024·高二·湖北武汉·期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（????）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】B

【解析】设直线的倾斜角为，则

因为，所以，

当时，即，则；

当时，即，则，

所以直线的倾斜角为或.

故选：B.

【变式1-2】（多选题）（2024·高二