2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（配北师大版）课件 4.3 第1课时 空间中的角.pptx

;基础落实·必备知识一遍过;课程标准;;知识点1两条直线所成的角

当两条直线a与b相交时,我们把两条直线交角中范围在内的角叫作两条直线所成的角.

当两条直线平行时,规定它们所成的角为0.

两直线重合时,它们所成角也为0;当两条直线a与b是异面直线时,在空间任取一点O,过点O作直线a和b,使得a∥a,b∥b,把a,b所成的角叫作异面直线a与b所成的角(如图).;当a,b≤π时,θ=π-a,b,故cosθ=|cosa,b|.;名师点睛

不要将两直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来,因为两直线所成角的范围是,而两个向量夹角的范围是[0,π],事实上,两直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.;思考辨析

怎样用向量法求两条异面直线所成的角的余弦值?;自主诊断

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.()

(2)两条异面直线所成的角一定不能为0°.();2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为();解析以D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),;3.[人教A版教材习题]如图,M,N分别是正方体ABCD-ABCD的棱BB和BC的中点.求:

(1)MN和CD所成角的大小;

(2)MN和AD所成角的大小.;知识点2直线与平面所成的角

设向量l为直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,则直线l与平面α所成的角θ∈;名师点睛

1.直线与平面平行或在平面内时,规定直线与这个平面所成角为0.

2.直线与平面垂直,规定直线与这个平面所成角为.

3.若l,n是一个锐角,则θ=-l,n;若l,n是一个钝角,则θ=l,n-.;自主诊断

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角.()

(2)直线与平面所成的角可以是钝角.();2.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cosm,n=-,则l与α所成的角为()

A.30° B.60° C.120° D.150°;3.[人教A版教材习题]如图,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=OC=3,OB=2.求直线OB与平面ABC所成角的正弦值.;解∵OA,OB,OC两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.

∵OA=OC=3,OB=2,;知识点3两个平面所成的角

一般地,已知n1,n2分别为平面α,β的法向量,则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角n1,n2相等(如图(1))或互补(如图(2)).;名师点睛

1.二面角的平面角的取值范围是[0,π].

2.利用向量求二面角的平面角有两种方法.

(1)几何法:若AB,CD分别在二面角α-l-β的两个半平面内,且是与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量的夹角(或其补角)(如图1).;思考辨析

1.两个平面的夹角与二面角的平面角有何区别?;自主诊断

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)二面角的平面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角的大小.()

(2)若二面角两个半平面的法向量的夹角为120°,则该二面角的平面角的大小等于60°或120°.();2.[人教A版教材习题]如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,求二面角A-A1B-C1的平面角的余弦值.;解∵正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,取BC的中点O,则AO⊥BC,∴AO⊥平面BB1C1C.

取B1C1的中点H,连接OH,

∴AO,BO,OH两两垂直,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.;3.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在BB1,DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D.

(1)求证:A1C⊥平面AEF;

(2)当AB=4,AD=3,AA1=5时,求平面AEF与平面D1B1BD的夹角的余弦值.;(1)证明(方法一)∵CB⊥平面A1ABB1,

∴A1C在平面A1ABB1上的投影为A1B.

由A1B⊥AE,AE?平面A1ABB1,得A1C⊥AE.

同理可证A1C⊥AF.

∵AF∩AE=A,∴A1C⊥平面AEF.

∴A1C⊥AE.同理A1C⊥AF.

∵AE∩AF=A,∴A1C⊥平面AEF.;;探究点一利用向量方法求两异面直线所成的角;规律方法1.若异