初中数学几何典型题型.docxVIP

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解决几何最值问题的通常思路

两点之间线段最短;

直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短;

三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第

三边(重合时取到最值)

是解决几何最值问题的理论依据,根据不同特征转化

是解决最值问题的关键.通过转化减少变量,向三个

定理靠拢进而解决问题;直接调用基本模型也是解决

几何最值问题的高效手段。

几何最值问题中的基本模型举例:

二、典型题型

1.如图:点P是∠AOB内一定点,点M、N分别在

边OA、OB上运动,若∠AOB=45°,OP=,则△

PMN的周长的最小值为

【分析】作P关于OA,OB的对称点C,D.连接OC,

OD.则当M,N是CD与OA,OB的交点时,△PMN

的周长最短,最短的值是CD的长.根据对称的性质

可以证得:△COD是等腰直角三角形,据此即可求解.

【解答】解:作P关于OA,OB的对称点C,D.连

接OC,OD.则当M,N是CD与OA,OB的交点时,

△PMN的周长最短,最短的值是CD的长.

∵PC关于OA对称,

∴∠COP=2∠AOP,OC=OP

同理,∠DOP=2∠BOP,OP=OD

∴∠COD=∠COP+∠DOP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠

AOB=90°,OC=OD.

∴△COD是等腰直角三角形.

则CD=OC=×3=6.

【题后思考】本题考查了对称的性质,正确作出图形,

理解△PMN周长最小的条件是解题的关键.

2.如图,当四边形PABN的周长最小时,

a=

【分析】因为AB,PN的长度都是固定的,所以求出

PA+NB的长度就行了.问题就是PA+NB什么时候最

短.

把B点向左平移2个单位到B′点;作B′关于x轴

的对称点B″,连接AB″,交x轴于P,从而确定N

点位置,此时PA+NB最短.

设直线AB″的解析式为y=kx+b,待定系数法求直线

解析式.即可求得a的值.

【解答】解:将N点向左平移2单位与P重合,点B

向左平移2单位到B′(2,﹣1),

作B′关于x轴的对称点B″,根据作法知点B″(2,

1),

设直线AB″的解析式为y=kx+b,

,解得k=4,b=﹣7.

∴y=4x﹣7.当y=0时,x=,即P(,0),a=.

故答案填:.

【题后思考】考查关于X轴的对称点,两点之间线段

最短等知识.

3.如图,A、B两点在直线的两侧,点A到直线的距

离AM=4,点B到直线的距离BN=1,且MN=4,P为

直线上的动点,|PA﹣PB|的最大值为

【分析】作点B于直线l的对称点B′,则PB=PB′

因而|PA﹣PB|=|PA﹣PB′|,则当A,B′、P在一

条直线上时,|PA﹣PB|的值最大.根据平行线分线段

定理即可求得PN和PM的值然后根据勾股定理求得

PA、PB′的值,进而求得|PA﹣PB|的最大值.

【解答】解:作点B于直线l的对称点B′,连AB′

并延长交直线l于P.

∴B′N=BN=1,

过D点作B′D⊥AM,

利用勾股定理求出AB′=5

∴|PA﹣PB|的最大值=5.

【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换,勾股定

理等,熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键.

4.动手操作:在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如

图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A′处,

折痕为PQ,当点A′在BC边上移动时,折痕的端点

P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边

上移动,则点A′在BC边上可移动的最大距离

【分析】本题关键在于找到两个极端,即BA′取最大

或最小值时,点P或Q的位置.经实验不难发现,分

别求出点P与B重合时,BA′取最大值3和当点Q

与D重合时,BA′的最小值1.所以可求点A′在BC

边上移动的最大距离为2.

【解答】解:当点P与B重合时,BA′取最大值是3,

当点Q与D重合时(如图),由勾股定理得A′C=4,

此时BA′取最小值为1.

则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1=2.

故答案为:2

【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折

叠、勾股定理的应用等知识,难度稍大,学生主要缺

乏动手操作习惯,单凭想象造成错误.

5.如图,直角梯形纸片ABCD,AD⊥AB,

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