1.2 空间向量基本定理 -(选择性必修第一册) (学生版).docx

空间向量基本定理

1空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p

证明存在性：设a,b,c不共面，过点O作OA=

过点P作直线PP平行于OC交平面OAB于点P在平面

过点P作直线P

存在三个数x,y,z，使得OA=xOA=x

∴OP

∴p

唯一性：设另有一组实数x,y

则x

∴x?

∵a,b,c不共面，∴x?

故实数x,y,z是唯一的.

2基底

若三向量a,b,c不共面，我们把

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示.由基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi

3推论

设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使?

若x+y+z=1，则点P,A,B,C四点共面.

【题型一】空间向量基本定理的理解

【典题1】若{a,

A．b+c,b,b?c

【典题2】已知非零向量a=3m?2n?4p，b=(x+1)m+8n

【典题3】如图，在三棱锥S?ABC中，点E,F分别是SA,BC的中点，点G在棱EF上，且满足EGGF=12，若SA

A．13a?12b+16

巩固练习

1(★)已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,

A．OA,OB,OC共线

C．OA+OB与OC共线 D．

2(★)(多选题)下面四个结论正确的是()

A．空间向量a,b(a≠

B．若对空间中任意一点O，有OP=16OA

C．已知{a,b,c}

D．任意向量a,b

3(★★)如图所示，在四面体O?ABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在

A．12a?23b+12

4(★★)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A

A．12a+12b+c

【题型二】空间向量基本定理的应用

【典题1】如图，平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且

【典题2】如图，在三棱锥P?ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点D,E,F，若PD=mPA

【巩固练习】

1(★★)如图，三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都相等，∠A1AB=∠A1AC=60°

(1)用a,b,c表示

2(★★)如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E,F分别为DD1，BD的中点，点G

3(★★★)如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，

(1)用向量AA1,AD,AB表示向量MN；(2)求证：

4(★★★)已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证:这个四面体相对的棱丙两垂直.

已知：如图，四面体ABCD，E,F,G,H,K,M分别为棱AB,BC,CD,DA,BD,AC的中点，且|EG|=|FH|=|KM|.

求证AB⊥CD,AC⊥BD,AD⊥BC.

5(★★★)已知正三棱锥P?ABC的侧棱长为2，过其底面中心O作动平面α交线段PC于点S，分别交PA,PB的延长线于点M,N，求1PS+