广东省深圳市外国语学校高2024届高三教学情况测试（三）数学试题.docx

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广东省深圳市外国语学校高2024届高三教学情况测试（三）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．，，且，则实数取值的集合是（????）

A． B．

C． D．

2．已知的三个角，，的对边分别是，，，若，，则（????）

A． B． C． D．

3．二项式的展开式中的常数项为（????）

A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120

4．如图，，是两个形状相同的杯子，且杯高度是杯高度的，则杯容积与杯容积之比最接近的是（????）

A． B． C． D．

5．已知数列an，则“”是“数列an是等差数列”的（????

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．若，，则（????）

A． B． C． D．

7．下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作．

则下列命题中正确的是（???）

A． B．是奇函数

C．在其定义域上单调递增 D．的图象关于轴对称

8．已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点和另一个点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（?????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（????）

A． B．

C．的最小值为3 D．的最小值为3

10．已知函数，下列结论正确的是（????）

A．的最小正周期为

B．函数的图象关于直线对称.

C．函数在上单调递增

D．方程在上有个不同的实根

11．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体作勒洛四面体，如图，则下列说法正确的是（????）

A．平面截勒洛四面体所得截面的面积为

B．记勒洛四面体上以C，D为球心的两球球面交线为弧，则其长度为

C．该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4

D．该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为

三、填空题

12．已知，则.

13．已知直线经过点，则原点到点的距离可以是．（答案不唯一，写出你认为正确的一个常数就可以）

14．已知，若函数的最大值为5，则.

四、解答题

15．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，．

(1)证明：平面；

(2)若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求．

16．某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：

科普测试成绩x

科普过程性积分

人数

4

10

3

a

2

b

1

23

0

2

(1)当时，

（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；

（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；

(2)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值.

17．已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)若函数存在最大值，求的取值范围.

18．已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，BC中点为D，过中点E且平行于的直线交于点P，记P的轨迹为Γ

(1)求Γ的方程；

(2)坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与Γ交于点M，N，直线，相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.

①的面积是定值；②的面积是定值：③的面积是定值.

19．如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.

(1)若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”；

(2)若等差数列的首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当；

(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和.

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答案