2.1一元二次函数、方程和不等式-(必修第一册) (学生版).docx

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一元二次函数、方程和不等式

1不等式关系与不等式

①不等式的性质

(1)传递性:ab,bc?ac;

(2)加法法则:ab?a+cb+c,ab,cd?a+cb+d;

(3)乘法法则:ab,c0?acbc,ab,c0?acbc;

(4)倒数法则:ab,ab0?1

(5)乘方法则:ab0?a

②比较a,b大小

(1)作差法(a?b与0的比较)

a?b0→ab;a?b=0→a=b;a?b0→ab

(2)作商法(ab与1比较)

a

2一元二次不等式及其解法

①二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:

(以下均以a0为例)

函数、方程、表达式

?0

?=0

?0

二次函数

y=ax2+bx+c

一元二次方程

ax

有两个相异实数根

x

(

有两个相等实数根

x

没有实数根

一元二次不等式

ax

{x|x

{x|x≠?

R

一元二次不等式

ax

{x|

?

?

②二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系,可充分利用二次函数图像去理解;

③求解一元二次不等式时,利用二次函数图像思考,需要确定二次函数的开口方向,判别式,两根的大小与不等式的解集有关,而对称轴是不会影响解集的.

3一元二次不等式的应用

(1)分式不等式的解法

解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.

由于ab0与ab0均意味a,b同号,故ab

ab0与ab0均意味a,b异号,故ab

可得①fxg(x)0?fxg

比如x?1x?20?x?1

②fxg(x)0?fx

比如x?1x?20?

(2)一元高次不等式的解法

①一元高次不等式通常先进行因式分解,化为x?x1x?x2

Eg解x+1x?2x?3x?4

解x+1x?22x?3

【题型一】不等式性质的运用

【典题1】实数a、b、c满足abc,则下列不等式正确的是()

A.a+bcB.1a?c1b?c

【典题2】已知a0,试比较a2+1a

【典题3】已知c1,a=c+1?c

A.abB.abC.a=b D.a与b的大小不确定

巩固练习

1(★)已知-1b0,a0,那么下列不等式成立的是()

A.aabab2 B.ab2

2(★★)设1b

A.abB.aba?bC.

3(★★)已知a,b∈R,且P=a+b2,Q=

A.P≥Q B.PQ C.P≤Q D.PQ

4(★★)若P=a+3+a+5,Q=a+1+

A.P=QB.PQC.PQ D.由a的取值确定

5(★★★)设S=a

A.0S1B.1S2C.2S3D.3S4

【题型二】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系

【典题1】如果关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为?1x2,则关于x的不等式b

【典题2】解关于x的不等式:x?2

巩固练习

1(★)若不等式2kx2+kx?38

A.?3k0 B.?3≤k0 C.?3≤k≤0 D.?3k≤0

2(★★)若关于x的不等式x2?3ax+20的解集为(?∞

A.?1 B.1 C.2 D.3

3(★★)若不等式ax2+2x+c0的解集是(?

A.[?12,13]

4(★★)【多选题】关于x的一元二次不等式x2?6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有

A.6 B.7 C.8 D.9

5(★★)不等式3x+13?x?1的解集是

6(★★)已知不等式ax2+bx+c0的解集是{x|αxβ},α0,则不等式c

7(★★)不等式axx?11的解集为{x|x1或x2},则a值是.

【题型三】求含参一元二次不等式

角度1:按二次项的系数a的符号分类,即a0,a

解不等式a

角度2:按判别式的符号分类

解不等式x2

角度3:按方程的根大小分类

解不等式:x2

巩固练习

1(★★)关于x的不等式x2?(a+1)x+a0的解集中恰有1个整数,则实数a的取值范围是

A.(?1,0]∪[2,3) B.[?2,?1)∪(3,4]

C.[?1,0)∪(2,3] D.(?2,?1)∪(3,4)

2(★★)解关于x的不等式x

3(★★)解关于x的不等式:2x

4(★★★)若a∈R,解关于x的不等式a

5(★★★)关于x的不等式ax?12x2恰有2

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