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一元二次函数、方程和不等式
1不等式关系与不等式
①不等式的性质
(1)传递性:ab,bc?ac;
(2)加法法则:ab?a+cb+c,ab,cd?a+cb+d;
(3)乘法法则:ab,c0?acbc,ab,c0?acbc;
(4)倒数法则:ab,ab0?1
(5)乘方法则:ab0?a
②比较a,b大小
(1)作差法(a?b与0的比较)
a?b0→ab;a?b=0→a=b;a?b0→ab
(2)作商法(ab与1比较)
a
2一元二次不等式及其解法
①二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
(以下均以a0为例)
函数、方程、表达式
?0
?=0
?0
二次函数
y=ax2+bx+c
一元二次方程
ax
有两个相异实数根
x
(
有两个相等实数根
x
没有实数根
一元二次不等式
ax
{x|x
{x|x≠?
R
一元二次不等式
ax
{x|
?
?
②二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系,可充分利用二次函数图像去理解;
③求解一元二次不等式时,利用二次函数图像思考,需要确定二次函数的开口方向,判别式,两根的大小与不等式的解集有关,而对称轴是不会影响解集的.
3一元二次不等式的应用
(1)分式不等式的解法
解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.
由于ab0与ab0均意味a,b同号,故ab
ab0与ab0均意味a,b异号,故ab
可得①fxg(x)0?fxg
比如x?1x?20?x?1
②fxg(x)0?fx
比如x?1x?20?
(2)一元高次不等式的解法
①一元高次不等式通常先进行因式分解,化为x?x1x?x2
Eg解x+1x?2x?3x?4
解x+1x?22x?3
【题型一】不等式性质的运用
【典题1】实数a、b、c满足abc,则下列不等式正确的是()
A.a+bcB.1a?c1b?c
【典题2】已知a0,试比较a2+1a
【典题3】已知c1,a=c+1?c
A.abB.abC.a=b D.a与b的大小不确定
巩固练习
1(★)已知-1b0,a0,那么下列不等式成立的是()
A.aabab2 B.ab2
2(★★)设1b
A.abB.aba?bC.
3(★★)已知a,b∈R,且P=a+b2,Q=
A.P≥Q B.PQ C.P≤Q D.PQ
4(★★)若P=a+3+a+5,Q=a+1+
A.P=QB.PQC.PQ D.由a的取值确定
5(★★★)设S=a
A.0S1B.1S2C.2S3D.3S4
【题型二】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系
【典题1】如果关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为?1x2,则关于x的不等式b
【典题2】解关于x的不等式:x?2
巩固练习
1(★)若不等式2kx2+kx?38
A.?3k0 B.?3≤k0 C.?3≤k≤0 D.?3k≤0
2(★★)若关于x的不等式x2?3ax+20的解集为(?∞
A.?1 B.1 C.2 D.3
3(★★)若不等式ax2+2x+c0的解集是(?
A.[?12,13]
4(★★)【多选题】关于x的一元二次不等式x2?6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有
A.6 B.7 C.8 D.9
5(★★)不等式3x+13?x?1的解集是
6(★★)已知不等式ax2+bx+c0的解集是{x|αxβ},α0,则不等式c
7(★★)不等式axx?11的解集为{x|x1或x2},则a值是.
【题型三】求含参一元二次不等式
角度1:按二次项的系数a的符号分类,即a0,a
解不等式a
角度2:按判别式的符号分类
解不等式x2
角度3:按方程的根大小分类
解不等式:x2
巩固练习
1(★★)关于x的不等式x2?(a+1)x+a0的解集中恰有1个整数,则实数a的取值范围是
A.(?1,0]∪[2,3) B.[?2,?1)∪(3,4]
C.[?1,0)∪(2,3] D.(?2,?1)∪(3,4)
2(★★)解关于x的不等式x
3(★★)解关于x的不等式:2x
4(★★★)若a∈R,解关于x的不等式a
5(★★★)关于x的不等式ax?12x2恰有2
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