3.1函数的概念及其表示方法-(必修第一册) (教师版).docx

函数的概念及其表示方法

一函数的概念

1概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x),x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f

2定义域

①概念函数自变量x的取值范围.

②求函数的定义域主要应考虑以下几点

(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；

(5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂.

3值域

①概念函数值y的取值范围

②求值域的方法

(1)配方法(2)数形结合(3)换元法

(4)函数单调性法(5)分离常数法(6)基本不等式法

4区间

实数集R表示为(?∞,+∞).

二函数的表示方法

1表格法

如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.

在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.

2图像法

如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.

数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.

3解析式

求函数解析式的方法

(1)配凑法(2)待定系数法(3)换元法(4)构造方程组法(5)代入法

?

【题型一】函数概念的理解

【典题1】设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是()

【解析】(本题相当把M={x|0≤x≤2}看成定义域，N={y|0≤y≤2}看成值域)

图象A不满足条件，因为当1x≤2时，N中没有y值与之对应.

图象B不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应.

图象C不满足条件，因为对于集合M={x|0x≤2}中的每一个x值，在集合N中有2个y值与之对应，不满足函数的定义.

只有D中的图象满足对于集合M={x|0≤x≤2}中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应，故选D.

【典题2】给定的下列四个式子中，能确定y是x的函数的是()

①x2+

③x?1+y?1=1

A．① B．② C．③ D．④

【解析】①由x2+y

比如x=0，y=±1，所以

②由|x－1|+y2?1

所以x=1,y=±1，所以②不是函数．

③由x?1+y?1=1得y=

④要使函数y=x?2+1?x有意义，则x?2≥01?x≥0，解得

故选：C．

【点拨】函数中自变量x与函数值y的关系是“一对一或多对一”的关系，不能是“一对多”.

【题型二】求函数的定义域

【典题1】函数y=?x2+2x+3

【解析】要使函数有意义，则?x2+2x+3≥0x≠0

即?1≤x0或0x≤3，即函数的定义域为[?1,0)?0,3

【典题2】下列各组函数中表示的函数不同的是()

A．f(x)=x,g(x)=3x3

C．fx=x2?3x,g

【解析】A,B,C的定义域和对应法则相同，表示同一函数，

D中g(x)=x+2的定义域是R，fx=x

两个函数的定义域不相同，不是同一函数.故选：D．

【点拨】

①判断两个函数是否是同一函数，看函数的定义域和解析式是否均相同；

②函数反应的是两个变量的关系，至于用什么字母表示都一样，故选项C的

fx

【典题3】已知fx2?1定义域为[0,3]

【解析】∵0≤x≤3∴?1≤

∴?1≤2x?1≤8∴0≤x≤

故函数f(2x?1)的定义域是0,9

【点拨】抽象函数的定义域理解起来不容易，由于函数的解析式与字母的选择无关，

若把题目换成“已知fx2?1定义域为[0,3]，求

①谨记定义域指的是自变量的取值范围，

所以由“fx2?1定义域为[0,3]”得到的是“0≤x≤3”，“求f(2t?1)

②把“x2?1”和“2t?1”都看成整体，它们的范围

这样就有“?1≤

【题型三】求函数的值域

方法1配方法

【典题1】求函数y=5x2

【解析】y=

∵x∈14,1

即y=5x2

【点拨】配方法针对二次函数型的函数值域.

方法2数形结合

【典题2】求函数fx

【解析】(这是分段函数，两段函数均为二次函数，其图像易得，故可用数形结合求值域)

fx=2x?

而f(0)=0,f(3)=?3,

fx=x2

可得到