3.2 函数的单调性-(必修第一册) (学生版).docx

函数的单调性

1函数单调性的概念

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I:

如果?x1,x2∈D，当x1x2时，都有

如果?x1,x2∈D，当x1x2时，都有

Eg：y=1x在

特别注意它的减区间是0,+∞,(?∞,0)，不是0,+∞

2单调性概念的拓展

①若y=f(x)递增，x2x

比如：y=f(x)递增，则f(a

②若y=f(x)递增，fx2≥f(

比如：y=f(x)递增,f(1?m)≥f(n),则1?m≥n.

y=f(x)递减，有类似结论！

3判断函数单调性的方法

①定义法

解题步骤

(1)任取x1,x

(2)作差f(x

(3)变形(通常是因式分解和配方)；

(4)定号(即判断差f(x

(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．

②数形结合

③性质法

增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；

但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x?2均是增函数，而y=x(x?2)不是.

④复合函数的单调性

(1)如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数；

比如：Fx=1x2

Fx=1?2x(

Fx=21x

(2)同增异减

设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M)

若y=fu,u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间

若y=f(u),u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.

4函数的最值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)?x∈I，都有fx≤M；(2)?x

那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)

简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.

?

【题型一】对函数单调性的理解

【典题1】函数y=f(x)在R是增函数，若a+b≤0，则有()

A.f

C.f

【典题2】已知函数f(x)在R上是单调函数，且对任意x∈R，都有f(fx?2x

巩固练习

1(★★)设a∈R，函数f(x)在区间(0,+∞)

A．f(a2+a+2)f(74

C．f(a2+a+2)≥f(74

2(★★)已知f(x)是定义在[0,+∞)上单调递增的函数，则满足f(2x?1)f(13)的x

【题型二】判断函数单调性的方法

方法1定义法

【典题1】判断f(x)=x+4x在

方法2数形结合

【典题2】函数fx

A.?∞,1B?.?∞,1∪

方法3复合函数的单调性

【典题3】函数fx=x2

巩固练习

1(★)下列四个函数在(?∞,0)是增函数的为()

A．fx=

C．fx=?

2(★)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()

A．y=1f(x)在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R

C．y=?1f(x)在R上为增函数 D．

3(★)函数f(x)=x|x?2|的递减区间为．

4(★)函数y=x2+3x

5(★★)函数f(x)=|12x

6(★★★)已知函数fx=x?a

(1)求a的取值范围；

(2)若方程fx=10存在整数解，求满足条件a的个数.

7(★★★)函数fx,g(x)在区间

①f(x)为增函数，fx0；②g(x)为减函数，

判断fxg(x)在

【题型三】函数单调性的应用

角度1解不等式

【典题1】已知函数f(x)=(12)x?x3

角度2求参数取值范围或值

【典题2】若f(x)=ax2+1,x≥0(a2?1)?2

角度3求函数最值

【典题3】已知函数fx

(1)当a=1时，求f(x)的值域；

(2)当a0时，求函数f(x)在区间[0,+∞)上的最小值．

巩固练习

1(★★)已知函数f(x)=2x+1x?1，其定义域是[?8,?4)

A．f(x)有最大值53，无最小值 B．f(x)有最大值53

C．f(x)有最大值75，无最小值 D．f(x)

2(★★)若f(x)=ax,x≥1?x+3a,x1是R上的单调减函数，则实数

3(★★)若函数fx=x2?2ax+1?a在[0,2]上的最小值为?1

4(★★)已知函数f(x)=x?2，若f(2a2?5a+4)f(a

5(★★)已知函数fx=|x?1|+|2x+a|的最小值为2，则实数a的值为

6(★★★)已知函数fx=2x?ax的定义域为

(1)当a=1时，求函数y=f(x)的值域；

(2)求函数y=f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(