5.4 三角函数的图像与性质-(必修第一册) (学生版).docx

三角函数的图像与性质

1周期函数

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足

f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.

PS

①从解析式f(x+T)=f(x)来看：任一自变量x对应函数值y与x增加T后对应函数值相等；

②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！

③三角函数就是典型的周期函数.

2正弦函数，余弦函数的图像与性质

注表中的k∈Z

y=sinx

y=cosx

图像

定义域

R

R

值域

[?1,1]

[?1,1]

最值

当x=π2+2kπ时，ymax=1；

当x=2kπ时，ymax=1；

当x=π+2kπ时，

周期性

2π

2π

对称中心

kπ,0

kπ+

对称轴

x=kπ+

x=kπ

单调性

在?π2+2kπ,π2

在?π+2kπ,2kπ上是增函数；

在2kπ,π+2kπ上是减函数.

3正切函数的图像与性质

注表中的k∈Z

y=tanx

图像

定义域

x

值域

R

最值

既无最大值也无最小值

周期性

π

对称中心

kπ

对称轴

无对称轴

单调性

在(kπ?π

?

【题型一】求解三角函数的性质

性质1周期性

【典题1】f(x)=|sinx|+|cosx|的最小正周期是（)

A.

【典题2】下列函数中，最小正周期为π2的是()

A．y=sin|x| B．y=cos|2x| C．y=|tanx| D．y=|sin2x|

性质2对称性

【典题1】函数y=sin(2x+π3

A．关于点(π6,0)对称 B．关于点

C．关于直线x=π6对称 D．关于直线

【典题2】已知函数f(x)=cos(3x+φ)(?π2φπ2)图象关于直线x=5π

性质3单调性

【典题1】函数f(x)=3sin(2π

A．[7π12,13π12] B．[π12

【典题2】若f(x)=sin(2x?π

A．f(1)f(2)f(3) B．f(3)f(2)f(1)

C．f(2)f(1)f(3) D．f(1)f(3)f(2)

性质4最值

【典题1】若函数f(x)=cos(ωx?π3)(ω0)的最小正周期为π2，则f(x)在

【典题2】已知函数f(x)=2cos(2x?π3)在[a?π4,a](a∈R)上的最大值为

巩固练习

1(★)下列函数中最小正周期为π的函数是()

A．y=sinx B．y=cos12x

2(★)下列函数中，关于直线x=?π

A．y=sin(x+π3)B．y=sin(2x+π3) C

3(★)设函数f(x)=cos(2x?π

A．f(x)的一个周期为?π

B．y=f(x)的图象关于直线x=2π3

C．f(x+π2)的一个零点为

D．f(x)在区间[π3

4(★)下列函数中，以π为周期且在区间(π2

A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|

C．f(x)=|cosx| D．f(x)=|sinx|

5(★)关于函数f(x)=|tanx|的性质，下列叙述不正确的是()

A．f(x)的最小正周期为π2

B．f(x)是偶函数

C．f(x)的图象关于直线x=kπ2(k∈Z)对称

D．f(x)在每一个区间(kπ,kπ+π

6(★★)下列函数中，以2π为周期，x=π2为对称轴，且在

A．y=2|sinx|+sinxB．y=2cos(x+π2) C．y=sin(2x?π2

7(★★)已知直线x=x1,x=x2

则f(x

A．2 B．0 C．±2 D．±1

8(★★)关于函数f(x)=|sinx|+cosx有下述四个结论：

①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为?2；③f(x)的图象关于y轴对称；④f(x)在区间(

其中所有正确结论的编号是()

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

9(★★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,0φπ2)的最小正周期为π，且关于

A．f(1)f(0)f(2)B．f(0)f(2)f(1)C．f(2)f(0)f(1) D．f(2)f(1)f(0)

10(★★★)已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,0φ≤π)是R上的奇函数，若f(x)的图象关于直线x=π4对称，且f(x)在区间[?π

A．?32 B．?12 C．1

【题型二】根据三角函数性质求解参数的值或范围

【典题1】已知ω0，函数f(x)=sin(ωx?π4)的图象在区间(π2

【典题2】已知函数f(x)=|cos(ωx+π3)|(ω0)在区间[?π3

【典题3】已知