第03讲 平面向量的数量积 (高频考点—精讲）（解析版）_1.docx

第03讲平面向量的数量积(精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

高频考点一：平面向量数量积的定义

角度1：平面向量数量积的定义及辨析

角度2：平面向量数量积的几何意义

高频考点二：平面向量数量积的运算

角度1：用定义求数量积

角度2：向量模运算

角度3：向量的夹角

角度4：已知模求数量积

角度5：已知模求参数

角度6：向量的投影问题

角度7：垂直问题

高频考点三：平面向量的综合应用

第一部分：知

第一部分：知识点精准记忆

1、平面向量数量积有关概念

1.1向量的夹角

已知两个非零向量和，如图所示，作，，则

()叫做向量与的夹角，记作．

(2)范围：夹角的范围是．

当时，两向量，共线且同向；

当时，两向量，相互垂直，记作；

当时，两向量，共线但反向．

1.2数量积的定义：

已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．

规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.

1.3向量的投影

①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.

②投影向量计算公式:

当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；

当为直角（如图（2））时，，所以；

当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.

当时，，所以；

当时，，所以

综上可知，对于任意的，都有.

2、平面向量数量积的性质及其坐标表示

已知向量，为向量和的夹角：

2.1数量积

2.2模：

2.3夹角：

2.4非零向量的充要条件：

2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）

3、平面向量数量积的运算

①

②

③

4、常用结论

①

②

③

第二部分：典

第二部分：典型例题剖析

高频考点一：平面向量数量积的定义

角度1：平面向量数量积的定义及辨析

典型例题

例题1．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高一期中）设是任意向量，则下列结论一定正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】解：向量的数量积是数量，选项A错误；

是方向上的向量，是方向上的向量，显然等式不恒成立，选项B错误；

，选项C错误；

，向量的数量积满足乘法的运算法则，选项D正确．

故选：D．

例题2．（多选）（2022·湖南·湘潭一中高二阶段练习）已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（????）

A．， B．可能成立

C．若，则 D．若，则或

【答案】ACD

【详解】仍是向量，不是向量，A错；

不妨取，，，则，

，此时，B对；

若，，，则，但，C错；

若，，则，但，，D错.

故选：ACD.

题型归类练

1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）(多选题)已知，，是三个非零向量，则下列命题中真命题为（????）

A．

B．，反向

C．

D．

【答案】ABC

【详解】A.(为与的夹角)，

由及，为非零向量可得，或，且以上各步均可逆.故命题A是真命题；

B.若，反向，则，的夹角为，且以上各步均可逆.故命题B是真命题；

C.当时，将向量，的起点移至同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有.反过来，若，则以，为邻边的四边形为矩形，所以有.故命题C是真命题.

D.当但与的夹角和与的夹角不等时，就有

，反过来由也推不出.故命题D是假命题.

故选：ABC

2．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一阶段练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（????）

A．12 B．8 C．-8 D．2

【答案】A

【详解】在方向上投影向量为，

，.

故选：A

角度2：平面向量数量积的几何意义

典型例题

例题1．（2022·江苏·沭阳县修远中学高一期末）已知向量，在方向上的投影向量为，则（????）

A．4 B．8 C． D．

【答案】C

【详解】由得，根据在方向上的投影向量为，可知在方向上的投影为，故根据数量积的几何意义，等于与在方向上的投影的乘积，故，

故选：C

例题2．（2022·海南中学高三阶段练习）如图，在菱形中，若，则（????）

A．8 B． C．4 D．

【答案】B

【详解】解：，因为四边形ABCD为菱形，所以，且，所以，

所以.

故选：B

例题3．（2022·全国·高一课时练习）已知，在上的投影的数量为，而在上的投影的数量为，求，．

【答案】30，-40.

【详解】∵在上的投影的数量为，∴，

∴．

∵在上的投影的数量为，

∴，

∴．

题型归类练

1．（2022·四川省南充市白塔中学高一期中（文））已知，，向量在方向上投影是4，则为（????）

A．12 B．8 C．-8 D．2

【答案】A

【详解】解：设两个向量的夹角为，由题意已知，，

向量在方向上投影是4，则，

所以；

故选：A.

2．（2022·吉林·长春外国语学校高一阶