第05讲 椭圆 (高频考点，精讲）（解析版）_1.docx

第05讲椭圆(精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

题型一：椭圆定义的应用

角度1：利用椭圆定义求轨迹方程

角度2：利用椭圆定义解决焦点三角形问题

角度3：利用椭圆定义求最值

题型二：椭圆的标准方程

题型三：椭圆的简单几何性质

角度1：椭圆的长轴、短轴、焦距

角度2：求椭圆的离心率

角度3：与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题

第一部分：知

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的

轨迹叫椭圆.这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.

说明：

若，的轨迹为线段；

若，的轨迹无图形

定义的集合语言表述

集合.

知识点二：椭圆的标准方程和几何性质

1、椭圆的标准方程

焦点位置

焦点在轴上

焦点在轴上

标准方程

（）

（）

图象

焦点坐标

，

，

的关系

范围

，

，

顶点

，，

，

轴长

短轴长＝，长轴长＝

焦点

焦距

对称性

对称轴：轴、轴对称中心：原点

离心率

，

知识点三：常用结论

1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：

2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）

3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：

（1）；

（2），，；

（3）,，；

（4）椭圆通经长=

第二部分：典

第二部分：典型例题剖析

题型一：椭圆定义的应用

角度1：利用椭圆定义求轨迹方程

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】错解：

∵△ABC的周长为20，顶点，

∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，

∵12＞8，

∴点A到两个定点的距离之和等于定值，

∴点A的轨迹是椭圆，

∵a＝6，c＝4，

∴b2＝20，

∴椭圆的方程是

故选：D.

错因：

忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.

正解：

∵△ABC的周长为20，顶点，

∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，

∵12＞8，

∴点A到两个定点的距离之和等于定值，

∴点A的轨迹是椭圆，

∵a＝6，c＝4，

∴b2＝20，

∴椭圆的方程是

故选：B.

例题2．（2022·全国·高二专题练习）动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（????）

A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定

【答案】A

【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，

故选：A

例题3．（2022·四川·双流中学高二期中（理））已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于，则动点的轨迹方程为__．

【答案】

【详解】平面上动点到两个定点和的距离之和等于，

满足椭圆的定义，可得，，则，

动点的轨迹方程为：，

故答案为：.

同类题型归类练

1．（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点，的距离是6，动点P到这两个定点的距离之和是6，那么动点P的轨迹是什么？

【答案】线段.

【详解】因，是两个定点，且，而，即，

所以动点P的轨迹是线段.

2．（2022·全国·高二专题练习）已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.

【答案】

【详解】连接，由题意，，则，

由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，

故短半轴长为1，故轨迹方程为：.

故答案为：.

角度2：利用椭圆定义解决焦点三角形问题

典型例题

例题1．（2022·山西吕梁·高二期中）设为椭圆的两个焦点，直线过交椭圆于，两点，则的周长是（????）

A．8 B．16 C． D．

【答案】B

【详解】椭圆的长轴长

由椭圆的定义可知，

则的周长为，

故选：B．

例题2．（2022·浙江·元济高级中学高二期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，．若斜率为1，且过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（????）

A．4 B．6 C．8 D．12

【答案】C

【详解】由椭圆：可得，

因为，在椭圆上，根据椭圆的定义可得，

所以的周长为，

故选：C

例题3．（2022·江苏·高二专题练习）已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由椭圆方程得..

故选：D.

例题4．（2022·黑龙江·高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，，若的面积为，则的短袖长为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【详解】由椭圆的定义知，所以，

又，即，

两式相减，得，因为的面积为，

即，所以，解得，所以短轴长为6．

故选:D．

同类题型归类练

1．（2022·辽宁沈阳·高二期中）椭圆M的左、右焦点分别