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上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷
一、填空题(共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1.已知集合,用列举法表示__________.
【答案】
【解析】
【分析】由,可得出的可能取值,由此可得出集合.
由,可知,,则,故.
故答案为:.
2已知集合,集合,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据交集的定义可得出.
因为集合为数集,集合为点集,
所以,.
故答案为:.
3.某班有名同学,参加物理竞赛的有人,参加化学竞赛的有人,两科竞赛都不参加的有人,则两科竞赛都参加的有__________人.
【答案】
【解析】
【分析】利用韦恩图可求两科竞赛都参加的人数.
设集合为参加物理竞赛的同学构成的集合,集合为参加化学竞赛的同学构成的集合,
由题意作出韦恩图如上图,设两科竞赛都参加的有人,
则,解得
故答案为:.
4.已知集合,集合,若,则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据列方程求出的值,结合元素的互异性进行取舍,得到最终结果.
根据,可知
①若,解得,
当时,违背了元素的互异性,故舍去.
同理,当时,也舍去.
②若,解得或1(舍),
当时,,,
满足,故符合题意.
故答案为:.
5.若集合,则满足条件的集合的个数是__________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据已知中M满足条件,列举出所有满足条件的集合M,可得答案
若集合,
则M可能为:
共6个,
故答案为:6
6.若不等式的解集是,则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到是方程的根,求得且,进而化简不等式,即可求解.
因为不等式的解集是,
所以是方程的根,且,
即,且,可得,
则不等式可化为,
因为,解得,
即不等式的解集为.
故答案为:.
7.已知,,则的取值范围为_________
【答案】
【解析】
【分析】令求出m、n,再应用不等式的性质求的范围.
令,则,
所以,可得,故,
而,故.
故答案为:
8.记为集合中所有元素之和,对于集合,?,则所有之和等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】列举出所有满足条件的集合,即可得出所有之和.
因为集合,?,分别列举出满足条件的集合
(1)若集合只有一个元素,则集合为:、、、、;
(2)若集合有两个元素,则集合为:、、、、
、、、、、,
在这些集合中,、、、、每个数都出现次;
(3)若集合有个元素,则集合为:、、、
、、、、、、,
在这些集合中,、、、、每个数都出现次;
(4)若集合有个元素,则集合为:、、、
、,
在这些集合中,、、、、每个数都出现次;
(5)若集合有个元素,则.
综上所述,所有之和为.
故答案为:.
9.若不等式的解集是,则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的解集与对应方程的关系,结合韦达定理,求的关系,代入所求不等式,即可求解.
由题意可知,,,,
则,即,
即,解得:,
所以不等式的解集为.
故答案为:
10.若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先分离参数,得出,再令,求出在上的最小值即可.
解:对任意,不等式恒成立,
即,
即,,
令,,
则易知在单调递减,
故,
故,
故实数的取值范围是.
11.对于非空实数集合,记,设非空实数集合满足条件“若,则”且,给出下列命题:
①若全集为实数集,对于任意非空实数集合,必有;
②对于任意给定符合题设条件的集合M,P,必有;
③存在符合题设条件的集合M,P,使得;
④存在符合题设条件的集合M,P,使得.
其中所有正确命题的序号是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意知,中元素为不大于中所有值的数的集合,由于四个命题对任意符合条件的集合都满足,故均可用特殊集合来验证即可.
因为对于非空实数集合,记,
设非空实数集合满足条件“若,则”且,
则中元素为不大于中所有值的数,即不大于中最小元素的集合,
对于,当集合,则,而,故错误;
对于,由于,假设中最小值为,中最小值为,
则,因此表示不大于的所有数的集合,表示所以不大于的数的集合,
则,故②正确;
对于③,令,则,所以,故③正确;
对于④,令,,则,
所以,故④正确.
故答案为:.
12.已知集合,集合满足:①每个集合都恰有3个元素;②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数,记为,则的最大值与最小值的和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由集合中最小值1与最大值9构成集合中两个元素,若使取得最大值,则将,从而依次确定、、,同理求最小值,从而解得.
解:因为集合中最小值为1,最大值为9,
若使取得最大值,
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