第05讲 异面直线（解析版）_1.docx

第05讲异面直线（2种题型）

【知识梳理】

1．异面直线

（1）异面直线的定义：我们把不同在_任何一个平面内__的两条直线叫做异面直线．即若a，b是异面直线，则不存在平面α，使aα且bα．

（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，通常用一个或两个平面衬托，如图：

2.异面直线判定定理

过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线．

3．空间中两直线位置关系的分类

空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：

（1）从有无公共点的角度分类：

（2）从是否共面的角度分类：

【考点剖析】

题型一：异面直线的定义

例1．（2022秋·上海闵行·高一上海市文来中学校考期中）空间中两条直线的位置关系有___________.

【答案】平行、相交、异面

【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可作答.

【详解】空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.

故答案为：平行、相交、异面.

【变式1】（2022春·上海浦东新·高一校考阶段练习）在长方体的12条棱之中，我们把两条异面的棱称为“一对”，则12条棱中，共有___________对异面直线.

【答案】24

【分析】由异面直线的定义可得答案.

【详解】解：在长方体中，与、构成异面直线，共构成4对异面直线，每一条棱都构成4对异面直线，长方体共有12条棱，再排除重复计算共有对异面直线，

故答案为：24.

【变式2】（2022秋·上海闵行·高一上海市文来中学校考期中）“直线与直线没有交点”是“直线与直线为异面直线”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据空间两直线的位置关系判断即可得出结论.

【详解】两条直线没有交点，说明这两条直线的位置关系为平行或异面

而两条直线为异面直线时，它们必没有交点，

所以选项B正确，选项ACD错误.

故选：B.

题型二：异面直线判定定理

例2.（2022·上海·高二专题练习）已知：平面平面，，，且c∥a，求证：b、c是异面直线．

【分析】证明b、c是异面直线，比较困难，考虑使用反证法，即若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交，证明b∥c或b与c相交都是不可能的，从而证明b、c是异面直线．

【详解】证明：用反证法：

若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交

（1）若b∥c．∵a∥c，∴a∥b这与a∩b＝A矛盾；

（2）若b，c相交于B，则Bβ，又a∩b＝A，

∴Aβ∴AB?β，即b?β这与b∩β＝A矛盾

∴b，c是异面直线．

【变式1】（2022秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考阶段练习）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点．求证：

（1）AM和CN共面；

（2）D1B和CC1是异面直线．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）连结MN，A1C1，AC，根据点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，利用平行关系的传递性得到MN∥AC即可；

（2）利用反证法，先假设D1B与CC1不是异面直线，证明D1，B，C，C1共面矛盾即可.

【详解】（1）如图，连结MN，A1C1，AC.

∵点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，

∴MN∥A1C1.

∵四边形A1ACC1为平行四边形，

∴A1C1∥AC，

∴MN∥AC，

∴A，M，N，C四点共面，即AM和CN共面．

（2）∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，

∴B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，

则存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，

∴D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．

∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．

【变式2】（2022秋·上海嘉定·高二校考开学考试）如图所示，在正方体中，分别是的中点.求证：

(1)三线共点；

(2)直线和直线是异面直线.

【分析】（1）分别延长，交于点，由平面基本性质知面．再由三角形中位线定理证明，，三线共点于．

（2）由反证法以及线面平行的判定以及性质即可得矛盾求解.

（1）分别延长，，交于点，

，面，

面．

是的中点，，

是的中点，

连接，，

的交点为线段AB的中点，即为E，

，，三线共点于．

（2）假如直线和直线不是异面直线，则存在一个平面，使得，

由于在正方体中,,,

因此,

又因为平面,且平面,

故,在正方形中，显然不平行，故矛盾，

因此假设不成立，即直线和直线是异面直线.

【过关检测】

一、单选题

1．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，结合长