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2022考研数学线性代数必备知识点

线性代数的前后知识的连续性强完全是由它自身的知识体系和

逻辑推理方式来决定的，很多同学也都说线性代数的公式概念结

论特别的多，前后联系特别的紧密，在做一个题时，如果有一个

公式或者结论不知道，后面的过程就无法做下去，其实这也符合

考研大纲的要求的考生运用所学的知识分析问题和解决问题的

能力。如果和高等数学做个比较，我们把高等数学看作是一个连

续性的推理过程，线性代数就是一个跳跃性的推理过程，在做题

时表现的会很明显。同学们在做高等数学的题时，从第一步到第

二步到第三步在数学式子上一个一个等下去很清晰，但是同学们

在做线性代数的题目时从第一步到第二步到第三步经常在数学

式子上看不出来，比如行列式的计算，从第几行(或列)加到哪行

(列)很多时候很难一下子看出来。针对上述特点，给出线性代数

的各章节重要知识点具体复习建议，希望同学们的复习能够有的

放矢。

一、行列式与矩阵

行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，

可以像润滑油一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式——具体行列式的计算和抽象行

列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，

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主要方法是应用行列式的性质及按行(列)展开定理化为上下三

角行列式求解;而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，

而在于结合后面章节内容的相对综合的题。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、

矩阵的基本性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩、初等矩阵

等。

二、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，

行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题

而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型

的`内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有

或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理

顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真

正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵

形式和向量形式;二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内

在联系。

(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系

齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等

式一定成立——印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何

向量线性表示”。

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齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零

解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中

的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零

解时，存在不全为零的变量使上式成立;但向量部分中判断向量

组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量

与线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非

零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相

关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。

(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系