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2023届浙江省杭州市名校高三1月联合考试数学试题
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数是奇函数,且,若对,恒成立,则的取值范围是()
A. B. C. D.
2.设函数,则,的大致图象大致是的()
A. B.
C. D.
3.已知函数若恒成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
4.下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”,例如.执行该程序框图,则输出的等于()
A.16 B.17 C.18 D.19
5.如果实数满足条件,那么的最大值为()
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数,,,,则,,的大小关系为()
A. B. C. D.
7.存在点在椭圆上,且点M在第一象限,使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点,则椭圆离心率的取值范围是()
A. B. C. D.
8.已知为抛物线的焦点,点在上,若直线与的另一个交点为,则()
A. B. C. D.
9.已知四棱锥的底面为矩形,底面,点在线段上,以为直径的圆过点.若,则的面积的最小值为()
A.9 B.7 C. D.
10.下列结论中正确的个数是()
①已知函数是一次函数,若数列通项公式为,则该数列是等差数列;
②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等,则;
③在中,“”是“”的必要不充分条件;
④若,则的最大值为2.
A.1 B.2 C.3 D.0
11.ΔABC中,如果lgcosA=lgsin
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
12.已知三棱柱的所有棱长均相等,侧棱平面,过作平面与平行,设平面与平面的交线为,记直线与直线所成锐角分别为,则这三个角的大小关系为()
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数,若在定义域内恒有,则实数的取值范围是__________.
14.在平面直角坐标系中,点在曲线:上,且在第四象限内.已知曲线在点处的切线为,则实数的值为__________.
15.函数的定义域是__________.
16.若双曲线C:(,)的顶点到渐近线的距离为,则的最小值________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)己知函数.
(1)当时,求证:;
(2)若函数,求证:函数存在极小值.
18.(12分)已知,,设函数,.
(1)若,求不等式的解集;
(2)若函数的最小值为1,证明:.
19.(12分)如图,椭圆的左、右顶点分别为,,上、下顶点分别为,,且,为等边三角形,过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求四边形面积的取值范围.
20.(12分)设等差数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求的前项和及使得最小的的值.
21.(12分)已知等差数列的公差,且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
22.(10分)在平面直角坐标系中,点是直线上的动点,为定点,点为的中点,动点满足,且,设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线交曲线于,两点,为曲线上异于,的任意一点,直线,分别交直线于,两点.问是否为定值?若是,求的值;若不是,请说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
先根据函数奇偶性求得,利用导数判断函数单调性,利用函数单调性求解不等式即可.
【详解】
因为函数是奇函数,
所以函数是偶函数.
,
即,
又,
所以,.
函数的定义域为,所以,
则函数在上为单调递增函数.又在上,
,所以为偶函数,且在上单调递增.
由,
可得,对恒成立,
则,对恒成立,,
得,
所以的取值范围是.
故选:A.
【点睛】
本题考查利用函数单调性求解不等式,根据方程组法求函数解析式,利用导数判断函数单调性,属压轴题.
2.B
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