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安徽省宿州市褚兰中学2023届高三下学期期末调研考试数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中,锐角顶点在坐标原点,始边为x轴正半轴,终边与单位圆交于点,则()
A. B. C. D.
2.设复数,则=()
A.1 B. C. D.
3.集合的真子集的个数是()
A. B. C. D.
4.已知集合,,则中元素的个数为()
A.3 B.2 C.1 D.0
5.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车,等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,设计两种乘车方案.方案一:不乘坐第一辆车,若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号,就乘坐此车,否则乘坐第三辆车;方案二:直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则()
A.P1?P2= B.P1=P2= C.P1+P2= D.P1<P2
6.等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()
A.-2 B.2 C.4 D.7
7.已知向量,,且与的夹角为,则()
A. B.1 C.或1 D.或9
8.如图,在中,点为线段上靠近点的三等分点,点为线段上靠近点的三等分点,则()
A. B. C. D.
9.已知不等式组表示的平面区域的面积为9,若点,则的最大值为()
A.3 B.6 C.9 D.12
10.已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于()
A. B. C.- D.-
11.抛掷一枚质地均匀的硬币,每次正反面出现的概率相同,连续抛掷5次,至少连续出现3次正面朝上的概率是()
A. B. C. D.
12.设双曲线(,)的一条渐近线与抛物线有且只有一个公共点,且椭圆的焦距为2,则双曲线的标准方程为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数在处的切线与直线平行,则为________.
14.已知,,分别为内角,,的对边,,,,则的面积为__________.
15.曲线在处的切线的斜率为________.
16.在中,内角所对的边分别为,
若,的面积为,
则_______,_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为:(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为:.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于,两点,与曲线交于,两点,求取得最大值时直线的直角坐标方程.
18.(12分)已知函数
(I)若讨论的单调性;
(Ⅱ)若,且对于函数的图象上两点,存在,使得函数的图象在处的切线.求证:.
19.(12分)已知,,不等式恒成立.
(1)求证:
(2)求证:.
20.(12分)如图,为坐标原点,点为抛物线的焦点,且抛物线上点处的切线与圆相切于点
(1)当直线的方程为时,求抛物线的方程;
(2)当正数变化时,记分别为的面积,求的最小值.
21.(12分)如图,在四棱锥中,,,,底面为正方形,、分别为、的中点.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
22.(10分)已知函数.
(1)讨论函数f(x)的极值点的个数;
(2)若f(x)有两个极值点证明.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
根据单位圆以及角度范围,可得,然后根据三角函数定义,可得,最后根据两角和的正弦公式,二倍角公式,简单计算,可得结果.
【详解】
由题可知:,又为锐角
所以,
根据三角函数的定义:
所以
由
所以
故选:A
【点睛】
本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式,还考查二倍角的正弦、余弦公式,难点在于公式的计算,识记公式,简单计算,属基础题.
2.A
【解析】
根据复数的除法运算,代入化简即可求解.
【详解】
复数,
则
故选:A.
【点睛】
本题考查了复数的除法运算与化简求值,属于基础题.
3.C
【解析】
根据含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,计算可得;
【详解】
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