第2章 圆与方程（章末题型归纳总结）（解析版）.docxVIP

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第2章圆与方程章末题型归纳总结

目录

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题

经典题型一：求圆的方程

经典题型二：求轨迹方程

经典题型三：直线与圆位置关系

经典题型四：圆与圆的位置关系

经典题型五：弦长、切线、切线长、切点弦问题

经典题型六：圆中范围与最值问题

经典题型七：面积问题

经典题型八：阿波罗尼斯圆问题

经典题型九：圆的新定义问题

模块三：数学思想方法

①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题

经典题型一：求圆的方程

例1．（2024·高二·上海·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，求圆的方程．

【解析】设圆的方程为，

圆心在直线上，得，

可得圆的方程为，

圆经过点和

所以，

解得，，

因此，所求圆的方程为．

例2．（2024·高二·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为.

(1)求的面积；

(2)求的外接圆的方程.

【解析】（1），

直线的方程为，即，

所以点到直线的距离，

所以的面积；

（2）设的外接圆的方程为，

则，解得，

所以的外接圆的方程为.

例3．（2024·高二·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，．

(1)设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程；

(2)求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程．

【解析】（1）因为为中点，，，所以．

因为四边形为平行四边形，所以，

由，，得，

所以．由知直线的斜率为，

所以直线的方程为，

即所求直线的方程为．

（2）因为四边形为平行四边形，且，，，

设，由得解得，

又由得，且，

所以点为圆心，与直线相切的圆的标准方程为．

例4．（2024·高二·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知

(1)过点A作直线，交直线和直线于两点，A为线段的中点．求直线的方程；

(2)若圆的圆心在直线上，圆经过点．求圆的方程．

【解析】（1）设直线与直线交点，直线与直线交点，

由题意可得：，解得，

即，

所以直线的方程为，即.

（2）由题意可知：直线的斜率，线段的中点为，

可知线段的垂直平分线方程为，即，

联立方程，解得，

可得圆的圆心为，半径为，

所以圆的方程为.

例5．（2024·高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系Oxy中，二次函数（a，，）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，经过A，B，C三个点的圆记为．求的方程．

【解析】设所求圆的一般方程为，

由题意得（a，，）的图象与两坐标轴的三个交点

即为圆和坐标轴的交点，

令得，，

由题意可得，这与是同一个方程，故，．

令得，，

由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得出，

∴的方程为．

例6．（2024·高二·四川资阳·期中）（1）过点且与直线平行，求直线的方程；

（2）已知圆过点，且圆心在直线上，求圆的方程.

【解析】（1）设直线方程为，

因为直线过点，

则，

∴，

∴所求直线方程为.

（2），则的垂直平分线的斜率为，中点为，

故的垂直平分线为，

由，解得，即圆心为，

圆的半径，

故圆方程为.

经典题型二：求轨迹方程

例7．（2024·高二·四川南充·阶段练习）已知点，，，动点满足.

(1)求动点的轨迹方程；

(2)若动点满足，求动点的轨迹方程；

(3)过点的直线交动点的轨迹于，且，求直线的方程.

【解析】（1）设点，由题意可得，

即，化简可得，

所以动点的轨迹方程为；

（2）设，由（1）知①，

又，所以，即代入①得，

整理得动点的轨迹方程为；

（3）设圆心到直线的距离为，则，

当斜率不存在时，直线与圆的交点坐标为，

满足，符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，

由题意，解得，所以直线方程为，

故所求直线方程为或.

例8．（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）如图，圆与圆的半径都是2，，过动点P分别作圆与圆的切线PM，PN，M，N分别为切点，使得.

(1)试建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程；

(2)若圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，判断直线与曲线P的位置关系？若相交，求出弦长，若不相交，说明理由.

【解析】（1）取中点为坐标系原点O，建立平面直角坐标系，

则，

设，因为，可得，

所以，可得，

整理得，即轨迹方程为.

（2）由圆，可得，可得圆心，半径，

因为圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，可得得方程为或，

则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，

又由圆的弦长公式，可得.

例9．（2024·高二·重庆沙坪坝·期中）已知圆，A是圆C上一动点，点，M为线段的中点．

(1)求动点M的轨迹方程；

(2)记M的轨迹为曲线E，过点的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程．

【解析】（1）令，由M为线段的中点，，则，

而A是圆C上一动点，故，

整理得，即，

所以动点M的轨迹方程为.

（2）由（1）知：曲线E