3.2.1 双曲线的标准方程（七大题型）（解析版）.docxVIP

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3.2.1双曲线的标准方程

课程标准

学习目标

（1）能从几何情境中认识双曲线的几何特征，说出双曲线的定义，发展直观想象素养．

（2）能类比椭圆标准方程的建立过程，推导出双曲线的标准方程，并能用于解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养．

（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.

（2）掌握双曲线的标准方程及其求法.

（3）能利用双曲线的定义和标准方程解决一些实际应用问题．

知识点01双曲线的定义

在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．

知识点诠释：

1、双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；

2、若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；

3、若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；

4、若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；

5、若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．

【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（????）

A．射线 B．直线

C．椭圆 D．双曲线的一支

【答案】A

【解析】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线.

故选：A.

知识点02双曲线的标准方程

标准方程的推导：

如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤．

（1）建系设点

取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴

（2）建立直角坐标系．

设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数．

（2）点的集合

由定义可知，双曲线就是集合：

．

（3）代数方程

∵，

∴

（4）化简方程

将这个方程移项，两边平方得：

化简得：

两边再平方，整理得：

（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．）

由双曲线定义，即c＞a，所以．

设，代入上式得：

即，其中

这就是双曲线的标准方程．

双曲线的标准方程：

1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；

2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中

椭圆、双曲线的区别和联系：

椭圆

双曲线

根据

根据

，

，

，

（a＞b＞0）

，

（a＞0，b＞0，a不一定大于b）

（a最大）

（c最大）

标准方程统一为：

方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件

方程可化为，即，

所以只有A、B异号，方程表示双曲线．

当，时，双曲线的焦点在x轴上；

当，时，双曲线的焦点在y轴上．

知识点诠释：

1、当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．

2、双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．

3、双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．

4、对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．

【即学即练2】（2023·全国·高二专题练习）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（????）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【解析】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点，

当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，

若将点代入，得①，

又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为.

当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④，

联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为，

综上所述，双曲线的标准方程为或.

故选：C.

知识点03求双曲线的标准方程

①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、、的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．

知识点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论．

【即学即练3】（2023·广东东莞·高三校联考阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为．

【答案】

【解