2.3 圆与圆的位置关系（七大题型）（解析版）.docxVIP

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2.3圆与圆的位置关系

课程标准

学习目标

（1）能将平面几何关于圆与圆位置关系的定性描述，转化为通过圆的方程判断圆与圆位置关系的定量刻画，给出通过圆的方程判断圆与圆位置关系的基本步骤，并能用于解决给定圆的方程判断位置关系的问题.

（2）能通过具体实例归纳出坐标法解决圆与圆位置关系问题的基本步骤，并能用于解决简单的数学问题和实际问题.

1、了解圆与圆的位置关系.

2、掌握圆与圆的位置关系的判断方法.

3、能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．

知识点01圆与圆的位置关系

1、圆与圆的位置关系：

（1）圆与圆相交，有两个公共点；

（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；

（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．

2、圆与圆的位置关系的判定：

（1）代数法：

判断两圆的方程组成的方程组是否有解．

有两组不同的实数解时，两圆相交；

有一组实数解时，两圆相切；

方程组无解时，两圆相离．

（2）几何法：

设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为．

当时，两圆相交；

当时，两圆外切；

当时，两圆外离；

当时，两圆内切；

当时，两圆内含．

知识点诠释：

判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．

3、两圆公共弦长的求法有两种：

方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．

方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．

4、两圆公切线的条数

与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．

（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；

（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；

（3）两圆相交时，只有2条外公切线；

（4）两圆内切时，只有1条外公切线；

（5）两圆内含时，无公切线．

【即学即练1】（2024·高二·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（???）

A．相交 B．外离 C．外切 D．内含

【答案】A

【解析】由于点和都在圆上，而在圆内部，

在圆外部，故两圆一定相交.

故选：A.

题型一：判断圆与圆的位置关系

【典例1-1】（2024·高二·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（????）

A．相交 B．内切 C．外切 D．相离

【答案】A

【解析】圆的圆心为，半径为；，

则圆的圆心为，半径为.

两圆心之间的距离，

且满足，可知两圆相交.

故选：A.

【典例1-2】（2024·高二·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（????）

A．内含 B．内切 C．相交 D．外切

【答案】D

【解析】由题可得圆C：，则其圆心，半径为；

圆，则其圆心为，半径为.

则两圆圆心距为，

故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离.

故选：D

【方法技巧与总结】

利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R+r、d与R―r的大小关系来判定即可．

【变式1-1】（2024·高二·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（???）

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

【答案】B

【解析】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为，

圆：即圆：的圆心，半径分别为，

所以两圆的圆心距满足，

所以两圆的位置关系为相交.

故选：B.

【变式1-2】（2024·高二·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（????）

A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关

【答案】C

【解析】圆：，

即，圆心，半径，

圆：，

即，圆心，半径，

所以当时，

所以圆与圆的位置关系是外离.

故选：C.

题型二：求两圆的交点

【典例2-1】（2024·全国·高二专题练习）求圆与圆的交点的坐标．

【解析】由题设，，相减可得，

所以，解得或，

当时，；当时，；

所以交点坐标为、.

【典例2-2】（2024·高二课时练习）证明下列两圆相切，并求出切点坐标：，．

【解析】，所以圆心为，半径为；

，所以圆心为，半径为；

所以两圆心间的距离为，且，因此，故两圆相外切；

，解得，故切点为.

【方法技巧与总结】

直接联立两圆方程求交点．

【变式2-1】（2024·全国·高二专题练习）圆与的交点坐标为.

【答案】和

【解析】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或，

所以