2.1 圆的方程（八大题型）（原卷版）.docxVIP

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2.1圆的方程

课程标准

学习目标

本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．

1、理解并掌握确定圆的几何要素．

2、理解并探求圆的标准方程和一般方程．

3、理解并掌握圆的标准方程和一般方程的求法．

4、理解并掌握点与圆的位置关系.

知识点01圆的标准方程

，其中为圆心，为半径．

知识点诠释：

（1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：

（2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点．

（3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法．

【即学即练1】（2024·高二·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（????）

A．

B．

C．

D．

知识点02点和圆的位置关系

如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有

（1）若点在圆上

（2）若点在圆外

（3）若点在圆内

【即学即练2】（2024·高二课时练习）点与圆的位置关系是（）

A．在圆外 B．在圆上

C．在圆内 D．与a的值有关

知识点03圆的一般方程

当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．

知识点诠释：

由方程得

（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．

（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．

【即学即练3】（2024·高二·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（????）

A． B．

C． D．

知识点04轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．

1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．

2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．

3、求轨迹方程的步骤：

（1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；

（2）列出关于的方程；

（3）把方程化为最简形式；

（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；

（5）作答．

【即学即练4】（2024·高二·上海·课后作业）设平面上有一条长度为4的线段，试建立适当的平面直角坐标系，求：

(1)到线段两端点的距离的平方差为16的点的轨迹方程；

(2)到线段两端点的距离的平方和为16的点的轨迹方程．

题型一：圆的定义及标准方程

【典例1-1】（2024·高二·山西大同·阶段练习）（1）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，求直线的方程；

（2）已知圆的圆心在直线上，且过点，，求圆的标准方程.

【典例1-2】（2024·高二·甘肃临夏·阶段练习）已知圆C的圆心在y轴上，且经过，两点，求圆C的标准方程.

【方法技巧与总结】

一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为：

（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；

（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；

（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．

【变式1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆C的半径为，圆心在直线上，且过点，求圆C的标准方程.

【变式1-2】（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）平面直角坐标系中，圆C过点，和点，且圆心C在直线上，求圆C的标准方程．

【变式1-3】（2024·高二·山西朔州·阶段练习）求下列圆的方程

(1)若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程；

(2)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程．

题型二：圆的一般方程

【典例2-1】（2024·高二·全国·专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为.

【典例2-2】（2024·高二·安徽合肥·期中）已知点，，，四点共圆，则.

【方法技巧与总结】

一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标