北师版高中数学选择性必修第一册课后习题 第3章 空间向量与立体几何 4.3 第2课时 空间中的距离问题 (2).docVIP

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第2课时空间中的距离问题

1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1与BC1所在直线间的距离是().

A.62a B.a C.2a D.

解析:如答图,建立空间直角坐标系,则A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a).

(第1题答图)

∴A1B=(0,a,-a),|A1B|=2a,BC1=(-a,0,a),|BC1|=2a.

答案:A

2.如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=6,则点B1到平面PAD的距离为().

(第2题)

A.6 B.3

C.655

解析:如答图,以A1B1所在直线为x轴,A1D1所在直线为y轴,A1A所在直线为z轴建立空间直角坐标系.

(第2题答图)

设平面PAD的一个法向量是n=(x,y,z).

由题意知,B1(2,0,0),A(0,0,2),D(0,2,2),P(1,1,4),∴AD=(0,2,0),AP=(1,1,2),则由AD·n=0,AP·n=0,可得平面PAD的一个法向量为n=(-2,0,1).连接AB1.∵B1A=(-2,0,2),∴

答案:C

3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是().

(第3题)

A.5 B.8 C.6013 D.

解析:(方法一)∵B1C1∥BC,B1C1?平面A1BCD1,

∴B1C1∥平面A1BCD1.

从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求.

如答图①,过点B1作B1E⊥A1B于点E.

∵BC⊥平面A1ABB1,且B1E?平面A1ABB1,

∴BC⊥B1E.又BC∩A1B=B,

∴B1E⊥平面A1BCD1.∴B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离.在Rt△A1B1B中,|B1E|=|A

∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为6013

①

②

(第3题答图)

(方法二)如答图②,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,12,0),D1(0,0,5).

设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x≠0).

设平面A1BCD1的一个法向量为n=(a,b,c),由n⊥BC,n⊥CD1,得n·BC=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·

∴a=0,b=512c,∴

又B1

∴点B1到平面A1BCD1的距离为B1B·n|n|=6013.∵B1C1

∴B1C1到平面A1BCD1的距离为6013

答案:C

4.在空间直角坐标系中,定义平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=|A

A.55 B.25

解析:作出正四棱锥P-ABCD,如答图,以底面中心O为原点,建立空间直角坐标系,

(第4题答图)

则A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).

设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将以上3个点的坐标代入计算,得A=0,B=-D,C=-12D,所以平面PAB的方程为-Dy-12Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以点O到侧面的距离d=

答案:B

5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为.?

(第5题)

解析:如答图,建立空间直角坐标系,

(第5题答图)

则A32,12,0,B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),所以C1A=32,12,-1,C1B1=(0,1,0),C1B=(0,1,-1).设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,z),则有C1A·n=

答案:21

6.如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,且PD⊥AD,PD⊥DC,PD=3,AD=2,若M是AB的中点,则点M到平面PAC的距离为.?

(第6题)

解析:如答图,建立空间直角坐标系,

(第6题答图)

则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,3),从而M(2,1,0),PA=(2,0,-3),PC=(0,2,-3).

设n=(x,y,z)为平面PAC的一个法向量,

则n⊥PA,n⊥PC.

所以n

所以x=y=3z

又因为MA=(0,-1,0),所以点M到平面PAC的距离d=MA·n|n|

答案:3

7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=6,AA1=4,M是A1C1的中点,点P在线段BC上,且CP=2,Q是DD1的中点.求:

(第7题)

(1)异面直线AM与PQ夹角的余弦值;

(2)点M到直线PQ的距离;

(3)点M到平面AB1P的距离.

解:如答