第09讲 双曲线及其性质【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）_1_1.docx

第09讲双曲线及其性质

【人教A版2019】

·模块一双曲线的定义和标准方程

·模块二双曲线的几何性质

·模块三课后作业

模块一

模块一

双曲线的定义和标准方程

1．双曲线的定义

双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫

作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

2．双曲线的标准方程

双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

双曲线在坐标系中的位置

标准方程

焦点坐标

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

a,b,c的关系

【考点1曲线方程与双曲线】

【例1.1】（2023秋·高二单元测试）方程x2-y

A．当θ=

B．当θ∈π2

C．当θ=

D．当θ∈0,π

【例1.2】（2023春·全国·高二开学考试）已知曲线C的方程为x22-k-y22k-5=1

A．-1k5 B．k52 C．

【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）对于常数a，b，“ab0”是“方程ax2+b

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式1.2】（2023秋·湖南常德·高二校考期末）已知曲线C的方程为x2k2

A．当k=8时，曲线C为椭圆，其焦距为

B．当k=2时，曲线C为双曲线，其离心率为

C．存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线

D．当k=3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆x

【考点2利用双曲线的定义解题】

【例2.1】（2023·全国·高二专题练习）设F1，F2为双曲线C：x23-y2=1的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，

A．3-2 B．3+2 C．

【例2.2】（2023秋·广东广州·高三校考开学考试）已知双曲线Γ:x24-y22=1的左右焦点分别为F1,F2

A．5+4 B．25+4 C．2

【变式2.1】（2023·高二课时练习）设F1，F2是双曲线x24-y26=1

A．6 B．12 C．610 D．

【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）设双曲线x29-y216=1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2+y2=9

A．-12 B．-1 C．-32 D

【考点3双曲线的标准方程的求解】

【例3.1】（2023·全国·高二专题练习）与椭圆C:y216+

A．x2-y

C．y22-

【例3.2】（2023秋·广东揭阳·高三校考开学考试）已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a0,

A．y24-

C．y23-

【变式3.1】（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为F10,3，F20,-3，P是双曲线上一点且

A．x24-

C．y24-

【变式3.2】（2023·高二课时练习）如图，F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点，且F

A．5x27

C．x2-y

模块

模块二

双曲线的几何性质

1．双曲线的简单几何性质

双曲线的一些几何性质：

图形

标准方程

范围

x≥a或x≤-a,y∈R

y≥a或y≤-a,x∈R

对称性

关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

顶点

A1(-a,0),A2(a,0)

A1(0,-a),A2(0,a)

半轴长

实半轴长为a,虚半轴长为b

离心率

渐近线方程

2．双曲线的离心率

(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.

3．双曲线中的最值问题

求解此类问题一般有以下两种思路：

(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.

(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.

【考点4利用双曲线的几何性质求标准方程】

【例4.1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2-y2b

A．x24-

C．x216-

【例4.2】（2023·四川绵阳·模拟预测）与椭圆x215+y2

A．x25-

C．x24-

【变式4.1】（2023春·四川宜宾·高二校考开学考试）已知双曲线C与双曲线y23-x22=1