第10讲 函数与方程【秋季讲义】（人教A版2019必修第一册）（原卷版）_1_1.docx

第10讲函数与方程

【人教A版2019】

·模块一零点存在定理

·模块二零点个数问题

·模块三二分法

·模块四课后作业

模块一

模块一

零点存在定理

1．函数零点存在定理

(1)函数零点存在定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.

(2)函数零点存在定理的几何意义：

在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.

【考点1求零点所在区间】

【例1.1】（2023秋·北京丰台·高三校考阶段练习）函数f(x)=-

A．0,12 B．12,1 C．

【例1.2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）方程log3x+

A．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,4

【变式1.1】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数fx=x2-5,x≤-2x

A．-3 B．-2 C．1 D

【变式1.2】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知三个函数fx=x3+x-3，gx=22x+x-2

A．cba B．ac

模块二

模块二

零点个数问题

1．零点转换

根

零点

交点

方程f(x)=0的根

函数y=f(x)的零点

f(x)图象与x轴交点的横坐标

方程f(x)=g(x)的根

函数y=f(x)-g(x)的零点

f(x)与g(x)图象交点的横坐标

【考点2求零点个数】

【例2.1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=lg-x

A．6 B．5 C．4 D．3

【例2.2】（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知函数fx是R上的奇函数，且满足fx=f2-x，当x∈

A．8 B．7 C．6 D．5

【变式2.1】（2023秋·四川绵阳·高三校考阶段练习）若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=-f

A．14 B．13 C．12 D．11

【变式2.2】（2023秋·云南大理·高二校考开学考试）已知abc0，定义域和值域均为-a,

??

A．方程fgx=0有且仅有三个解 B

C．方程ffx=0有且仅有五个解 D．方程

【考点3已知零点个数求参】

【例3.1】（2023秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知函数f(x)=2-x,x≤01x

A．[-1,0) B．[0,+

C．[-1,+∞) D

【例3.2】（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=32x+22-m-1,x

A．14,1 B．-12,0 C

【变式3.1】（2023·全国·高一专题练习）定义在R上的偶函数fx满足f2-x=fx+2，当x∈0,2时，fx=

A．e-110

C．e-111,

【变式3.2】（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数fx=log3x,0x≤31

A．(0,1) B．(-1,0)

C．(-4,2) D．(-2,0]

模块

模块三

二分法

1．二分法

(1)二分法的定义：

对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，

使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

(2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点.

(3)用二分法求方程的近似解：

用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在

要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)0，f()0，我们便知区间(a,)包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内.

(4)用二分法求函数零点的近似值的步骤

给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下：

1.确定零点的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)0.

2.求区间(a,b)的中点c.

3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

(1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)f(c)0(此时∈(a,c))，则令b=c；

(3)若f(c)f(b)0(此时∈(c,b))，则令a=c.

4.判断是否达到精确度：若|a-b|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.

【考点4用二分法确定函数零点（方程的根）所在的区间】

【例4.1】（2023·全国·高一专题练习）用二分法求函数fx=x

A．-2,1 B．

C．0,1 D．1,2

【例4.2】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=x3

A．[-2