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第10讲空间的平行问题
【人教A版2019】
·模块一空间中的平行关系
·模块二平行关系的相互转化及综合应用
·模块三课后作业
模块一
模块一
空间中的平行关系
1.直线与直线平行
(1)基本事实4
①自然语言:平行于同一条直线的两条直线平行.
②符号语言:a,b,c是三条不同的直线,若a∥b,b∥c,则a∥c.
③作用:判断或证明空间中两条直线平行.
(2)空间等角定理
①自然语言:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
②符号语言:如图(1)(2)所示,在∠AOB与∠AOB中,OA∥OA,OB∥OB,则∠AOB=∠AOB
或∠AOB+∠AOB=.
2.直线与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线线平行,则线面平行”.
(2)性质定理
①自然语言
一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面平行,则线线平行”.
(3)性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时,可以证明其中一条直线平行于一个平面,另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线,从而得到两条直线平行.
②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面,要在平面内画一条直线与已知直线平行,可以过已知直线作一个平面与已知平面相交,交线就是所要画的直线.
3.平面与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语售
.
该定理可简记为“若线面平行,则面面平行”.
(2)判定定理的推论
①自然语言
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语言
.
(3)性质定理
①自然语言
两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若面面平行,则线线平行”.
(4)两个平面平行的其他性质
①两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线同时被三个平行平面所截,截得的线段对应成比例.
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.
【考点1直线与直线平行的判定】
【例1.1】(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知三条不同的直线l,m,n,且l∥m,则“m∥n”是“l
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解题思路】根据线与线的位置关系,结合充要条件的定义即可求解.
【解答过程】解:若m∥n,又l∥
反之,若l∥n,又l∥m
故“m∥n”是“l∥
故选:C.
【例1.2】(23-24高一·全国·课时练习)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l
A.l与AD平行 B.l与AD不平行 C.l与AC平行 D.l与BD平行
【解题思路】假设l//AD,通过平行线的传递性推出与题中条件相反的结论来说明直线l与直线AD一定不平行;当l与A1C1平行时,选项C正确;当l与
【解答过程】假设l//AD,则由AD//
这与直线l与直线B1
所以直线l与直线AD不平行.
故选:A.
【变式1.1】(23-24高一下·全国·课后作业)已知AB//PQ,BC//QR,∠ABC
A.30° B.30°或150°
C.150° D.30°或120°
【解题思路】根据等角定理,即可得到结论.
【解答过程】∠ABC的两边与∠
根据等角定理易知∠PQR=30°或
故选:B.
【变式1.2】(23-24高一·全国·课后作业)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE
A.异面 B.平行 C.相交 D.平行或相交
【解题思路】根据线段比例关系,可得直线与直线的平行.结合空间中平行线的传递性即可判断.
【解答过程】因为在ΔABC中,AE
所以EF
又因为BC
所以EF
故选:B.
【考点2直线与平面平行的判定】
【例2.1】(2024高三·全国·专题练习)直三棱柱ABC-ABC中,∠BAC=90°,AB=
(1)证明:MN//平面A
(2)求三棱锥A-
【解题思路】(1)连接AB、AC,分析可知
(2)连接AN,证明出AN⊥平面
【解答过程】(1)证明:连接AB、
四边形AA
∵M为AB的中点,则M为
又∵N为BC的中点,
又MN?平面AACC
因此MN//平面A
(2)连接A
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