第11讲 任意角的三角函数【秋季讲义】（人教A版2019必修第一册）（原卷版）_1_1.docx

第11讲任意角的三角函数

【人教A版2019】

·模块一任意角和弧度制

·模块二三角函数的概念

·模块三课后作业

模块一

模块一

任意角和弧度制

1．角的概念的推广

(1)角：一条射线绕着端点(顶点)从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)所成的图形.其中顶点、始边、终边称为角的三要素.

(2)角按其旋转方向可分为：正角(逆时针旋转),零角(没有旋转),负角(顺时针旋转).

(3)在直角坐标系中讨论角：

①象限角：顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边在第几象限就是第几象限角.

②轴线角：顶点在原点，始边在x轴正半轴上，终边在坐标轴上，称之为轴线角.

2．终边相同的角

若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角.

一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合

，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.

3．角度制、弧度制的概念

(1)角度制

角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角

度制.

(2)弧度制的相关概念

①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.

②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.

记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.

(3)弧度数

在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么.其中，的正负由角的终边的旋

转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

4．角度与弧度的换算

(1)弧度与角度的换算公式

5．弧长公式、扇形面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为.

(1)弧长公式

由公式，可得.

(2)扇形面积公式

.

(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示

角度制

弧度制

弧长公式

l=αR

扇形面积公式

注意事项

R是扇形的半径，n

是圆心角的角度数.

R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数.

【考点1角的概念的推广】

【例1.1】（2023下·辽宁沈阳·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（????）

A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同角一定相等

C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限

【例1.2】（2023下·江西萍乡·高一统考期末）下列说法正确的是（????）

A．60°=

B．一堂数学考试（120分钟）时针旋转60°

C．1弧度的角大于1°的角

D．三角形内角必为第一或二象限的角

【变式1.1】（2023下·河北张家口·高一统考期中）下列与α=42°终边相同的角为（????

A．318° B．-318° C．342° D．

【变式1.2】（2023下·上海静安·高一统考期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合的角.

①小于90°的角一定是锐角；????

②第二象限的角一定是钝角；

③终边重合的角一定相等；????

④相等的角终边一定重合.

其中真命题的个数是（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点2角的终边的对称问题与垂直问题】

【例2.1】（2023下·北京·高一北京四中校考期中）α是一个任意角，则α的终边与3π-α

A．关于坐标原点对称 B．关于x轴对称

C．关于y轴对称 D．关于直线y=

【例2.2】（2023上·黑龙江大兴安岭地·高一校考阶段练习）若α角与β的终边垂直，则α与β的关系是（????）

A．β=α+

C．β=α+

【变式2.1】（2023上·江苏扬州·高一校考期中）若2πα4π，且角α的终边与角-

A．7π3 B．10π3 C．

【变式2.2】（2023下·上海黄浦·高一统考期末）在平面直角坐标系中，角α和β的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若角α和β的终边关于y轴对称，则下列关系式一定正确的是（????）

A．α-β=2kπ+π2（

C．α-β=2kπ+π（k

【考点3弧长公式与扇形面积公式的应用】

【例3.1】（2023下·山东潍坊·高一校考阶段练习）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A,B,C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为

A．π-24 B．π+38

【例3.2】（2022上·湖北武汉·高一校考期末）若扇形的周长为定值l，圆心角为α0α2π，则当扇形的面积取得最大值时，该扇形的圆心角

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式3.1】（2022下·江苏宿迁·高一统考期中）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看