北师版高中数学选择性必修第一册课后习题 第5章 计数原理 4.2 二项式系数的性质.docVIP

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4.2二项式系数的性质

必备知识基础练

1.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于()

A.11 B.10 C.9 D.8

2.(a+b)n二项展开式中与第r-1项系数相等的项是()

A.第(n-r)项 B.第(n-r+1)项

C.第(n-r+2)项 D.第(n-r+3)项

3.若x+1

A.10 B.20 C.30 D.120

4.若3x-13

A.7x3 B.-7x

5.已知Cn0+2Cn1+22Cn2

A.64 B.32 C.63 D.31

6.(多选题)(广东东莞期中)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角,以下关于杨辉三角的猜想中正确的有()

A.由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想:C

B.由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想:C

C.由“第n行所有数之和为2n”猜想:Cn0+C

D.由“111=11,112=121,113=1331”猜想:115=15101051

7.设(2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a0+a1+a2+a3+…+a10=.?

8.已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求:

(1)a0+a1+a2+a3+a4+a5;

(2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;

(3)a1+a3+a5.

9.若(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,求:

(1)各项系数之和;

(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.

关键能力提升练

10.(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为1024,则n的值为()

A.8 B.9 C.10 D.11

11.若(1-2x)2016=a0+a1x+…+a2016x2016(x∈R),则a12+

A.2 B.0 C.-1 D.-2

12.x+

A.第8项

B.第9项

C.第8项、第9项

D.第11项、第12项

13.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N*)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于()

A.26 B.27 C.7 D.8

14.(多选题)(江苏扬州一模)在x-1x7的展开式中,下列说法正确的有()

A.所有项的二项式系数之和为128

B.所有项的系数和为0

C.系数最大的项为第4项和第5项

D.存在常数项

15.如图数表满足:(1)第n行首尾两数均为n;(2)图中的递推关系类似杨辉三角,则第n(n≥2)行的第2个数是.?

16.若(2x+3)4=a0+a1x+…+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为.?

17.已知(3x2+3x2)

(1)展开式中二项式系数最大的项;

(2)展开式中系数最大的项.

18.(江苏张家港期中)已知函数f(n,0,=2时,求f(7,x)的展开式中二项式系数最大的项;

(2)若f(10,x)=a0+a1x+a2

①求∑i=110a

②求ai(0≤i≤10,i∈N)的最大值.

学科素养创新练

19.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:

(1)求第20行中从左到右的第4个数;

(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.

试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.

答案：

1.D2.D3.B4.C

5.B由已知(1+2)n=3n=729,解得n=6.则Cn

6.ABCA,B,C显然正确,115=(10+1)5,当系数超过10时,需要向前进一位,故115=161051,所以D错误.故选ABC.

7.1令x=2,则(2×2-3)10=a0+a1+a2+…+a10,所以a0+a1+…+a10=1.

8.解(1)令x=1,得(2×1-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,

∴a0+a1+a2+a3+a4+a5=1. ①

(2)∵(2x-1)5的展开式中偶数项的系数为负值,

∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.

令x=-1,得[2×(-1)-1]5=-a0+a