2.2 直线与圆的位置关系（十四大题型）（原卷版）.docxVIP

第PAGE页

2.2直线与圆的位置关系

课程标准

学习目标

(1)能用直线的方程、圆的方程解决具有一定综合性的数学问题和实际问题.

(2)体会数形结合、函数与方程、转化与化归、特殊与一般等数学思想及方法，提升直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学素养.

1、理解并掌握直线与圆的位置关系的判断．

2、理解并掌握直线与圆相切的问题．

3、理解并掌握直线与圆的相交问题．

4、理解并掌握直线与圆的综合应用问题.

知识点01直线与圆的位置关系

1、直线与圆的位置关系：

（1）直线与圆相交，有两个公共点；

（2）直线与圆相切，只有一个公共点；

（3）直线与圆相离，没有公共点．

2、直线与圆的位置关系的判定：

（1）代数法：

判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点．

有两组实数解时，直线与圆C相交；

有一组实数解时，直线与圆C相切；

无实数解时，直线与圆C相离．

（2）几何法：

由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：

当时，直线与圆C相交；

当时，直线与圆C相切；

当时，直线与圆C相离．

知识点诠释：

（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．

（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．

（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．

【即学即练1】（2024·高二·广东惠州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（????）

A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定

知识点02圆的切线方程的求法

1、点在圆上，如图．

法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率

的乘积等于，即．

法二：圆心到直线的距离等于半径．

2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．

知识点诠释：

因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．

常见圆的切线方程：

（1）过圆上一点的切线方程是；

（2）过圆上一点的切线方程是

．

【即学即练2】（2024·高三·湖北武汉·期末）若点在圆上，则过的圆的切线方程为.

知识点03求直线被圆截得的弦长的方法

1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．

2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．

【即学即练3】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）当圆截直线所得的弦长最短时，实数（????）

A． B． C． D．1

题型一：不含参数的直线与圆的位置关系

【典例1-1】（2024·高二·重庆·期末）直线l：与圆C：的位置关系是（????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能

【典例1-2】（2024·高二·浙江嘉兴·期中）已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（????）

A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定

【方法技巧与总结】

判定直线与圆的位置关系采用几何法比采用代数法的计算量要小得多，因此，我们一般采用几何法来解决直线与圆的位置关系的有关问题．

【变式1-1】（2024·高二·新疆喀什·期末）直线与圆的位置关系为（????）

A．相切 B．相交但直线过圆心

C．相交但直线不过圆心 D．相离

【变式1-2】（2024·高二·贵州·期中）圆与直线的位置关系是（????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定

题型二：含参数的直线与圆的位置关系

【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为（????）

A．相交、相切或相离

B．相交或相切

C．相交

D．相切

【典例2-2】（2024·高二·安徽·开学考试）直线与圆的位置关系是（????）

A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切

【方法技巧与总结】

通过判定直线过圆内一定点，从而转化为点与圆的位置关系．

【变式2-1】（2024·高二·广东·期末）直线与圆的位置关系为（????）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

【变式2-2】（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（????）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

【变式2-3】（2024·高二·北京海淀·期中）直线与圆的位置关系为（????）

A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定

题型三：由直线与圆的位置