福建省福建师范大学第二附属中学2025届高三数学上学期期中试题理.docVIP

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福建省福建师范高校其次附属中学2025届高三数学上学期期中试题理

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知集合，集合，求（）

A．B．C．D．

2．设，，，则（）

A． B．C． D．

3．平面对量与的夹角为．,,则等于（）

A．B．C．4D．12

4．在△中，为边上的中线，为的中点，则（）

A．B．C．D．

5．函数的图象大致为（）

A．

A． B． C． D．

6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）

A．最长棱的棱长为

B．最长棱的棱长为

C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形

D．侧面四个三角形都是直角三角形

7．函数的图象如图，则下列有关性质的描述正确的是（）

A．

B．为函数的对称轴

C．向左移后的函数为偶函数

D．函数的单调递减区间为

8．若函数是幂函数，且其图像过点，则函数的单调递增区间为（）

9．已知定义在上的函数满意对随意都有成立，且函数的图像关于直线对称，则（）

10．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，所对的边分别为，，，则的面积

．依据此公式，若，且

，则的面积为（）

A． B． C． D．

11．已知，，且都是锐角，则（）

A．B．C．D．

12．已知偶函数满意，且当时，，关于的不等式在区间上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（）

A. B.C.D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13．已知复数满意，则等于______．

14．已知函数，且，则曲线在处的切线方程为______．

15．已知正三棱锥的底面边长为3，外接球的表面积为，则正三棱锥的体积为________．

16．已知函数，，则函数的最小值为_____．

三、解答题（本题共6道小题,共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分10分）

已知函数．

（Ⅰ）求的最小正周期：

（Ⅱ）求在区间上最大值和最小值．

18．（本小题满分12分）

在平面四边形ABCD中，AB＝2，BD＝，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，

△ABD的面积为2．

(1)求AD的长；

(2)求△CBD的面积．

19．（本小题满分12分）

已知在多面体中，，，，，且平面平面．

（I）设点为线段的中点，试证明平面；

第19题图（II）若直线与平面所成的角为，

第19题图

求二面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若，求实数的值；

（2）设函数，若在上没有零点，求的取值范围．

21．（本小题满分12分）

如图，矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB＝50米，AD＝100米，现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球消遣（其中，点O为AD的中点，OM⊥ON，点M在AB上，点N在CD上），将破旧的道路AM重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM成本为每米500元，设∠OMA＝θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f(θ)．

（1）求f(θ)关于θ函数关系式，并写出定义域；

（2）为节约投入成本，当tanθ为何值时，总费用f(θ)最小？

22．（本小题满分12分）

已知函数，且．

（1）求；

（2）证明：存在唯一的极大值点，且．

答案：

1．B

2．D

3．B

4．A

5．A

6．D

7．C

8．A

9．D

10．A

11．A

12．D

【解析】

分析：由偶函数满意，可得函数周期为，利用导数探讨函数的单调性，画出函数图象，在上有个周期，且有个整数解，每个周期内有个解，由可得结果.

详解：

由，可知函数的对称轴为，

由于函数是偶函数，,

所以函数是周期为的周期函数，

当时，，

函数在上递增，在上递减，

最大值，且，

由选项可知，解得或，

依据单调性和周期性画出图象如图所示，由图可知，没有整数解，

依据函数偶函数，在上有个周期，且有个整数解，

也即每个周期内有个解，，

故，解得，故选D.

13．

14．

15．或

16．

17．（Ⅰ）因为

，

故最小正周期为

（Ⅱ）因为，所以．

于是，当，即时，取得最大值；

当，即时，取得最小值