1.1.2 空间向量数量积的运算-(选择性必修第一册) (学生版).pdf

空间向量数量积的运算

1空间向量的夹角及其表示

已知两非零向量,在空间任取一点作=,=则∠叫做向量与的夹角，记作

,；且规定0≤,≤；

若,=2则称与互相垂直，记作:⊥.

2向量的模

=:||

设则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作.

3向量的数量积

已知向量,，则|||,叫做,的数量积，记作⋅

即⋅=|||,.

4空间向量数量积的性质

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①⊥⇒⋅=0.②||=.

5空间向量数量积运算律

①()⋅=(⋅)=(⋅)

②⋅=⋅(交换律)

③⋅(+)=⋅+⋅(分配律)

④不满足乘法结合律:(⋅)⋅≠⋅(⋅)

【题型一】数量积的运算

【典题1】如图，在三棱锥−中====3==2,分别是、的中

点，则⋅=．

2,,⋅=

【典题2】已知四面体，所有棱长均为，点分别为棱的中点，则()

A．1B．2C．−1D．−2

巩固练习

1(★)平面上有四个互异点，已知(++2)⋅(−)=0，则△的形状是()

、、、

A．直角三角形B．等腰直角三角形

C．等腰三角形D．无法确定

2(★)在空间四边形中====1⋅+⋅+⋅=()

A．−1B．0C．1D．不确定

3(★★)如图，在三棱锥−中,,，两两垂直=2==1为的中点，则⋅

的值为.

1=++(1−−)=

4(★★)在棱长为的正四面体中，点满足，点满足

−(−1)⋅=

，当、最短时.

−==

5(★★★★)已知三棱锥的顶点在平面内的射影为点，侧棱，点为三棱锥