2.2 基本不等式 -(必修第一册) (学生版).docx

基本不等式

1基本不等式

若a0,b0，则a+b≥2ab(当且仅当a=b

①a+b2叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数

②基本不等式的几何证明

(当点D、O重合，即a=b时，取到等号)

③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.

一正指的是a0,b0；二定指的是ab是个定值，三等指的是不等式中取到等号.

2基本不等式及其变形

2

(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)

以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.

①a+b≥2ab，

②ab≤a+b

③a2+b2≥a+b

④ab≤a2+b2

3对勾函数

①概念形如y=x+a

②图像

③性质

函数图像关于原点对称，

在第一象限中，当0xa时，函数递减，当x

④与基本不等式的关系

由图很明显得知当x0时，x=a时取到最小值y

其与基本不等式x+ax≥2

【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解

情况1一正：a

求函数y=

情况2二定：ab定值

求函数y=

情况3三等：取到等号

求函数y=x

【题型二】基本不等式运用的常见方法

方法1直接法

【典题1】设x0、y0、z0，则三个数1x+4y、1y+4z、

A．都大于4 B．至少有一个大于4

C．至少有一个不小于4 D．至少有一个不大于4

【典题2】设x

①(x+1x)(y+1y

③x2+9x2+5

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【典题3】已知实数a，b满足ab0，则aa+b

方法2凑项法

【典题1】若x1，则函数y=4x+1x?1的最小值为

【典题2】若x1，则2x+9x+1+

【典题3】设ab0，则ab+4b2

方法3凑系数

【典题1】若0a12，则a(1?2a)的最大值是

【典题2】已知a,b为正数，4a2+b2

方法4巧“1”法

【典题1】已知x0，y0，x+y=2，则x+y的最大值是

【典题2】已知x0，y0，且2x+1y=2

【典题3】设a2，b0，若a+b=3，则1a?2+1

方法5换元法

【典题1】若x1，则y=x?1x2+x?1的最大值为

【典题1】若a,b∈R?，a+b=1，则a+12

【典题2】设a、b是正实数，且a+2b=2，则a2a+1+

方法6不等式法

【典题1】已知a,b∈(0,+∞)，且1+2ab=9a+b

【典题2】已知2a+b+2ab=3，a0，b0，则2a+b的取值范围是.

巩固练习

1(★★)已知a+b+c=2，则ab+bc+ca与2的比较．

2(★★)已知x，y∈R+，若x+y+xy=8，则xy的最大值为

3(★★)若x，y∈R+，且3x+1y=5

4(★★)函数y=x2+x?5x?2(x

5(★★)已知实数a、b,ab0，则aba2+b2+a

6(★★)[多选题]下列说法正确的是()

A．x+1x(x0)的最小值是2 B．

C．x2+5x2+4的最小值是2

7(★★★)[多选题]设a0，b0，且a+2b=4，则下列结论正确的是()

A．1a+1b的最小值为2 B．

C．1a+2b的最小值为9

8(★★★)若实数m，n0，满足2m+n=1，以下选项中正确的有()

A．mn的最小值为18 B．1m+

C．2m+1+9n+2的最小值为5

9(★★★)已知正实数a，b满足a+b=1，则2a2+1a+

10(★★★)若正数x、y满足x+4y?xy=0，则4x+y的最大值为

11(★★★)已知0a1，则11?a+4a的最小值是

12(★★★)已知a，b∈R，a+b=2，则1a2+1+

13(★★★)若正数a，b满足1a+1b=1，则aa?1

14(★★★★)已知实数a0，b－2，且满足2a+b=1，则2a2+1

15(★★★★)已知x0，y0，则2xyx2+8y2

16(★★★★)设实数x,y满足x24?y2

挑战学霸

方程x2018+11+x2