3.1 椭圆-(选择性必修第一册) (教师版).docx

椭圆

1定义

平面内与两个定点F1,F

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.

如图：P是椭圆上一点，P

注PF1+PF2=2aF

PF1+PF2

PF

2几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

x

y

范围

?a≤x≤a且?b≤y≤b

?b≤x≤b且?a≤y≤a

顶点

A

B

A

B

轴长

短轴长2b，长轴长

焦点

F

F

焦距

F

a、b、c的关系

a

离心率

e=

3一些常见结论

①通径：过焦点且垂直于长轴的弦，其长度为2b

②最大角，P是椭圆上一点，当运动到短轴端点时，∠F

③焦点三角形面积S?P

④焦半径PF1=a+e

⑤椭圆x2a2

?

【题型一】椭圆的定义

【典题1】设定点F10,－3、F2(0,3)动点P满足条件|P

A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段

【解析】由题意得，|PF

所以|P

当且仅当a=9a时取等号，此时a=3

因为定点F1(0,－3)、F

当|PF1|+|PF2|=6

当|PF1|+|PF2|6时，点

故选：D．

【点拨】注意椭圆定义的常数要大于两定点距离.

【典题2】如图，点A是平面α外一定点，过A作平面α的斜线l，斜线l与平面α所成角为50°．若点P在平面α内运动，并使直线AP与l所成角为35°，则动点

A．圆B．椭圆C．抛物线 D．双曲线的一支

【解析】用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线．

故可知动点P的轨迹是椭圆的一部分．

故选：B．

巩固练习

1(★)设F1－4,0、F2(4,0)为定点，动点

A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段

【答案】B

【解析】若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则

∵|F1F2|=8

∴点M在线段F1

故选：D．

2(★★)在棱长为1的正方体ABCD－ABCD中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC|=2的点P的个数为()

A．4 B．6 C．8 D．12

【答案】B

【解析】∵正方体的棱长为1,∴AC=

∵|PA|+|PC|=2

∴点P是以2c=3为焦距，以a=1为长半轴，以1

∵P在正方体的棱上

∴P应是椭圆与正方体的棱的交点

结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱BC,CD,CC,AA,AB,AD上各有一点满足条件

故选：B．

【题型二】椭圆方程

【典题1】已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y

【解析】椭圆方程4x2+k

由于椭圆的焦点在y轴上，则1k

故答案为：0k4.

【点拨】

曲线方程C:

当m0,n0且m≠n时，C为椭圆(若m=n

当mn0时，C为焦点在x轴上的椭圆且a

当nm0时，C为焦点在y轴上的椭圆且a

简而言之：看分母大小.

【典题2】经过两点A(0,2)、B(12,3)

【解析】由题意，设椭圆的方程为x2m

则4n=11

∴椭圆的标准方程为x2

【点拨】过两个点的椭圆设为x2m+y2

【典题3】已知F(2,0)是椭圆E：x2a2+y2b

【解析】方法一已知F(2,0)是椭圆E：x2a2

可得a2?

(这里求a,b可“猜”，由2a2+1b

所以所求椭圆方程为：x2

方法二依题意可知，椭圆的两个焦点分别为F1?

由椭圆的定义，可知2a=EF

又c=2

所以所求椭圆方程为：x2

【点拨】方法二利用椭圆的定义求解，计算量较小.

巩固练习

1(★)已知方程x24?k+y2k?1=1表示焦点在x

【答案】(1，52)

【解析】∵方程x24?k+

∴4?k0k?104?kk?1

∴k的取值范围是(1，52)．

故答案为：(1，52

2(★)已知B、C是两个定点，|BC|=6，且△ABC的周长等于16，则顶点A

【答案】x225+

【解析】∵|BC|=6，且△ABC的周长等于16，

∴AB+AC=10BC，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，除去与x轴的交点，

∴2a=10，c=3，

∴b=4，故顶点A的轨迹方程为x225+

故答案为：x225+

3(★)焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(3,?26)的椭圆标准方程是

【答案】x2

【解析】由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为x

∵焦距等于4，且椭圆经过点P(3,?26

∴c=a2?b

因此，椭圆的标准方程为x2

故答案为：x

【题型三】椭圆的图像及其性质

【典题1】(多选题)如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2

A．a1+

C．