3.5.2 二次函数在闭区间上的最值问题-(必修第一册) (教师版).pdf

二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．

2

设()=++(≠0)，求()在∈[,]上的最大值与最小值．

2

4−

分析：将()配方，得顶点为(−2,4)、对称轴为=−2；

当0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[,]上()的最值：

(1)当−2∈[,]时，

2

4−

()−

=,()(),()

的最小值是(2)4的最大值是中的较大者．

(2)当−2时，由()在[,]上是增函数，则()的最小值是()，最大值是()．

(3)当−2时，由()在[,]上是减函数，则()的最大值是()，最小值是()．

当0时，可类比得结论．

【题型一】定轴动区间

()()0(0,5)()[−2,4]28

已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．

(1)求()的解析式；

(2)设函数()在∈[,+1]上的最小值为()，求()的表达式．

【解析】(1)∵()是二次函数，且()0的解集是(0,5)，

∴可设()=(－5)(0)．(待定系数法，二次函数设为交点式)

∴()在区间[－2,4]上的最大值是(−2)=14．

由已知得14=28，∴=2，

()()2

∴=2−5=2－10(∈)．

()(−2.5)2

(2)由(1)得=2−12.5，函数图象的开口向上，对称轴为=2.5

(讨论对称轴=2.5与闭区间[,+1]的相对位置)

①当+1≤2.5时，即≤1.5时，()在[,+1]上单调递减，(对称轴在区间右侧)

()()(+1)2()2

此时()的最小值=+1=2−10+1=2−6−8；

②当≥2.5时，()在[,+1]上单调递增，(对称轴在区间左侧)

()()2

此时()的最小值==2−10；

③当1.52.5时，函数=()在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)

此时，()=(2.5)=－12.5

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