3.5.3 函数的周期性和对称性-(必修第一册) (学生版).pdf

函数的周期性和对称性

一函数的周期性

1概念

=()(+)=()

对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都

=()

成立，那么把函数叫做周期函数，常数叫做这个函数的周期.

Eg：

()

上图是三角函数=的图像

①函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；

=2=2

②红色图像的水平长度为，它就是函数的最小正周期，即；

(思考：4是周期么)

(+2)=()

③整个函数，对于任何，都有.

(简单说来，两个自变量相差2，它们对应的函数值均相等)

下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？

2常见的结论

(+)=(+)=()=−

①若，则的周期是.

(+)=−()=()=2

②若，则的周期是；(你可证明试试)

1

()

③若+=()，则=()的周期是=2.

二函数的对称性

1函数图象自身的对称关系

+

①轴对称：若(+)=(−),则=()有对称轴=2.

=()(+)+(−)=(,,

②中心对称：若函数定义域为，且满足条件为常数)，则函数

+

=()的图象关于点(2,2)对称.

2两个函数图象之间的对称关系

①轴对称

−

=()=(+)=(−)=

若函数定义域为，则两函数与的图象关于直线2对称.

特殊地，函数=(+)与函数=(−)的图象关于直=0对称.

②中心对称