第03讲 圆的方程 (高频考点，精讲）（原卷版）_1.docx

第03讲圆的方程(精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

题型一：求圆的方程

题型二：与圆有关的轨迹问题

题型三：与圆有关的最值问题

角度1：考查目标函数的几何意义求最值

角度2：利用对称性求最值

第一部分：知

第一部分：知识点精准记忆

知识点一：圆的定义和圆的方程

1、圆的定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.

如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为,半径为,为圆上任意一点，可用集合表示为：

2、圆的标准方程

我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.

3、圆的一般式方程

对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.

①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；

②当时，方程表示一个点

③当时，方程不表示任何图形

说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.

知识点二：点与圆的位置关系

判断点与：位置关系的方法:

（1）几何法（优先推荐）

设到圆心的距离为，则

①则点在外

②则点在上

③则点在内

（2）代数法

将点带入：方程内

①点在外

②点在上

③点在内

知识点三：圆上的点到定点的最大、最小距离

设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;

①若点在外，则;

②若点在上，则;

③若点在内，则;

第二部分：典

第二部分：典型例题剖析

题型一：求圆的方程

典型例题

例题1．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高二阶段练习）一个圆经过点与点，圆心在直线上，求此圆的标准方程.

例题2．（2022·安徽宿州·高二期中）求下列圆的方程

(1)圆经过坐标原点，和；

(2)圆的圆心在轴上，并且过和两点．

例题3．（2022·吉林·长春市文理高中有限责任公司高二阶段练习）已知三个顶点的坐标分别是，，，过点的直线把面积平分.

(1)求直线的方程；

(2)求的外接圆的方程.

例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知一个圆过,求这个圆的方程．

同类题型归类练

1．（2022·河北师范大学附属中学高二阶段练习）平面直角坐标系中，圆C过点，和点，且圆心C在直线上，求圆C的标准方程．

2．（2022·北京市玉渊潭中学高二期中）求满足下列条件的圆的方程.

(1)经过点，圆心为点；

(2)经过点，且圆心在轴上.

3．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）的三个顶点分别是、、.

(1)求边上的中线所在直线的方程；

(2)求的外接圆的方程.

4．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆经过点，，．求圆的方程．

题型二：与圆有关的轨迹问题

典型例题

例题1．（2022·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）已知是圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是（????）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·江苏连云港·高二期中）己知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（????）

A． B． C． D．

例题3．（2022·湖南·长沙市实验中学高二阶段练习）当点在圆上运动时，连接点与定点，则线段的中点的轨迹方程为________.

例题4．（2022·山东省青岛第十九中学高二期中）已知圆的圆心在直线上，并经过点，与直线相切．

(1)求圆C的方程；

(2)已知，动点到圆的切线长等于的2倍，求出点的轨迹方程．

例题5．（2022·河南·商城县观庙高级中学高二阶段练习（理））已知圆经过点、，且它的圆心在直线上.

(1)求圆的标准方程；

(2)若点为圆上任意一点，且点，求线段中点的轨迹方程.

同类题型归类练

1．（2022·云南西双版纳·二模（文））已知圆，圆，过动点P分别作圆、圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（????）．

A． B．

C． D．

2．（2022·天津市第九十五中学益中学校高二期中）已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为______.

3．（2022·辽宁·阜新市第二高级中学高二期中）（1）已知圆C经过坐标原点和点，且与直线相切，则圆C的方程；

（2）已知，，动点P满足.求点P的轨迹方程C.

4．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（文））已知圆经过点，，且圆与轴相切．

(1)求圆的一般方程；

(2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．

5．（2022·江苏·邵伯高级中学高二阶段练习）（1）已知两定点，若动点P满足，则P的轨迹方程．

（2）已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程．

题型三：与圆有关的最值问题

角度1：考查目标函数的几何意义求最值

典型例题

例题1．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高二阶段练习）若实数，满足条件，则的范围是______.

例题2．（2022·四川省内江