第04讲 利用导数研究函数的零点（方程的根） (高频考点，精练）（解析版）_1.docx

第04讲利用导数研究函数的零点（方程的根）(精练）

A夯实基础

一、单选题

1．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．当时，函数的零点的个数为（???????）．

－1

0

2

4

5

1

2

0

2

1

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【详解】解：由导函数的图象可知，函数在上为增函数，在上为减函数，且函数在和取得极大值，在取得极小值，

则的大致图象如图所示，

由图可知，当时，函数的图象与直线的有4个交点，

故选：D

2．若关于的方程有且只有2个零点，则a的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由，得（），令，

所以关于的方程有且只有2个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，

由，得，

当时，，当，，

所以在上递增，在上递减，

所以，

当时，，

所以当时，函数的图像与直线有两个交点，

所以a的取值范围是，

故选：D

3．已知函数有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：令函数，则有，令，则．

，当时，，单调递减，当时，，单调递增．当时，取得最小值，且，显然，当时，恒成立．由此可以画出函数的大致图象，如图所示，由图象可得，要使函数有且仅有两个不同的零点，只需，即．

故选：D．

4．若函数与图象恰有一个公共点，则实数a不可能取值为（???????）

A．2 B．0 C．1 D．

【答案】A

【详解】解：函数的导数为；

所以过原点的切线的斜率为；则过原点的切线的方程为：；

当时，函数与的图象恰有一个公共点；所以，.

所以选项A不符合题意，选项BCD符合题意.

故选：A.

5．若方程在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是（???????）

A． B．[0,2]

C． D．

【答案】A

【详解】由题意得，方程在[0,2]上有解，则，x∈[0,2]，

令，x∈[0,2]，则，令，解得x1，

因此函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，

又x=1时，；x=2时，y=2；x=0，y=0，

∴函数，x∈[0,2]的值域是，

故，∴.

故选：A.

6．方程恰有三个不等的实根，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】设，可得，

令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函数在单调递增，在单调递减，

则当，函数取得极大值，

当，函数取得极小值，

要使得方程恰有三个不等的实根，

即函数与的图象有三个不同的交点，

所以，解得，

即实数的取值范围是.

故选：B.

7．函数的零点个数为（???????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】由题设，且定义域为，

所以在上，在上，即在上递减，在上递增，

所以的极小值为，又，，

则在、上各有一个零点，共有2个零点.

故选：B

8．已知函数有最小值，则函数的零点个数为（???????）

A．0 B．1 C．2 D．取决于a的值

【答案】C

【详解】解：函数，，

则，

函数的最小值即其极小值，

即有解，

当有一解时，

在的两侧都成立，此时是单调递增的，没有极值，不符合题意，舍去，

因此有两解，即有两解，故有两个零点．

故选：C．

二、多选题

9．已知函数，则下列说法正确的是（???????）

A．函数在上单调递增

B．函数是奇函数

C．函数有两个零点

D．曲线在原点处的切线方程为

【答案】AD

【详解】，令，解得，令，解得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以选项A正确；

，所以函数不是奇函数，选项B错误；

当时，；当时，；当时，，又，画出函数的大致图象如图，可知函数只有一个零点，所以选项C错误；

易知，所以曲线在原点处的切线方程为，选项D正确.

故选：AD.

10．设函数，则关于的方程的实数根的个数可能为（???????）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】BCD

【详解】

，

即函数在上单调递减，在上单调递增

当时，，，

则函数与的图象如下图所示

平移直线可知，函数与的交点个数可能为

则关于的方程的实数根的个数可能为

故选：BCD

三、填空题

11．函数有两个零点，则的取值范围是___________.

【答案】

【详解】解：由题知，与有两个交点，，

由得；由得，

在上单调递增，在上单调递减，

又，且当时，，函数图象如下所示：

所以；

故答案为：

12．函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数______.

【答案】2

【详解】求导得，由得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以，当时，有极大值；当时，有极小值.

依题意可知或，又，所以.

故答案为：.

四、解答题

13．已知函数（）

(1)求在处的切线方程；

(2)当有3个零点时，求的取值范围．

【答案】(1)(2)