第05讲 拓展一：分离变量法解决导数恒成立，能成立问题 (高频考点，精练）（解析版）_1.docx

第05讲拓展一：分离变量法解决导数恒成立，能成立问题(精练）

A夯实基础

一、单选题

1．已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：函数,对都有,

当时,即,

即为

可化为

令,

则

当时,,单调递减.

因此

所以

故实数的取值范围是

故选B

2．已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意知至少存在一个，使得成立，即在上有解，满足即可，

设，，∵，∴，

∴在上恒为增函数，∴，∴，

故选：B.

3．已知函数，若在定义域内存在，使得不等式成立，则实数m的最小值是（???????）

A．2 B． C．1 D．

【答案】C

【详解】函数的定义域为，

.

令，得或（舍）.

当时，；当时，.

所以当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为1.

因为存在，使得不等式成立，

所以，

所以实数m的最小值为1.

故选：C

4．若函数，满足恒成立，则的最大值为（???????）

A．3 B．4 C． D．

【答案】C

【详解】解：因为，满足恒成立，

所以，

令，则，

令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，

所以的最大值为，

故选：C.

5．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】对任意都有恒成立，

则时，

，当时恒成立，

?，当时恒成立，

，

故选：A

6．已知函数．若的最小值为，且对任意的恒成立，则实数m的取值围是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】∵函数的对称轴方程为，

∴，

令，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

∴，

又对任意的恒成立，

即，

∴.

故选：C

7．已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为

A．4 B．

C． D．

【答案】A

【分析】试题分析：，则当时，；当时，，∴.，作函数的图象如图所示，当时，方程两根分别为和，则的最大值为.故选A.

8．已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】不妨设，可得，可得，

令，则，

所以，函数在上为增函数，

对任意的恒成立，所以，，

当时，，当且仅当时，等号成立，

所以，.

故选：B.

二、多选题

9．若关于的不等式在上有解，则实数的取值可以是（???????）．

A． B．1 C． D．

【答案】ABC

【详解】解：依题意，问题等价于关于的不等式在上有解．令，，则．令，，则，易知单调递增，，所以单调递增，故，故，则在上单调递增，故，即实数的取值范围为．

故选：ABC

10．已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数a的取值可以是（???????）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【详解】因为函数，满足对任意的，恒成立，

当时，恒成立，即恒成立，

因为，当且仅当，即时取等号，

所以.

当时，恒成立.

当时，恒成立，即恒成立，

设，，

，，为减函数，，，为增函数，

所以，所以，

综上所述：.

故选：ABC

三、填空题

11．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．

【答案】

【详解】根据题意，当时，分离参数，得恒成立．

令，∴时，恒成立．

令，则，

当时，，∴函数在上是减函数．

则，∴．

∴实数的取值范围是．

故答案为：

12．已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.

【答案】或

【详解】由题可知：，

因为函数在上存在极值点，所以有解

所以，则或

当或时，函数与轴只有一个交点，即

所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去

所以或，即或

故答案为：或

四、解答题

13．已知函数，其中为自然对数的底数.（参考数据：）

(1)讨论的单调性；

(2)设，恒成立，求的最大值.

【答案】(1)当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

(2)3

(1)由题意得，则，

当时，当时恒成立，则在上单调递减；

当时，令，得，令，得.

函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，令，得，令，得，

函数在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

(2)设函数，则，令，得，

在上单调递减，在上单调递增；

则，

要使恒成立，只要恒成立，即

令，则当时恒成立

∴在上单调递减，

又∵，

所以满足条件的的最大值为3.

14．已知函数.

(1)当时，求的单调区间与极值；

(2)若在上有解，求实数a的取值范围.

【答案】(1)在上单调递减，