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椭圆的标准方程教学设计

【三维目标】

知识与技能：了解椭圆的实际背景，掌握椭圆的定义、椭圆标准方程的两种形式及其推导过程，能根据条件用椭圆的定义或待定系数法求椭圆的标准方程.

过程与方法：通过椭圆概念的引入和椭圆标准方程的推导过程，培养学生的观察能力和探索能力，熟练掌握解决解析问题的方法坐标法.

情感、态度与价值观：通过对椭圆的定义及其标准方程的学习，渗透数形结合和等价转化的思想，启发我们研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化、对立统一的思想.

【重点与难点】

教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式.

教学难点：椭圆标准方程的建立及推导.

【教学过程】

知识回顾：上节课我们学习了“曲线与方程”的知识，并且初步学习了求曲线方程的方法：直接法、参数法、代入法等.

本节课我们将利用上述知识来探求一种特殊的圆锥曲线的规律.

探究：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在画图板上的两点，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动，画出的轨迹是什么曲线？

师生交流：当细绳的长度等于时，画出的轨迹是线段；

当细绳的长度大于时，画出的轨迹是椭圆.

思考1：在上述试验中，为得到椭圆，给出了什么条件？你能给椭圆下个定义吗？

学生思考并总结：为得到椭圆，需要给出三个条件：

①是两个不同的定点；

②是定值；

③.

（学生尝试用自己的语言给椭圆下定义.教师在学生表述的基础上进一步归纳和完善，给出椭圆的准确定义.）

一、椭圆的定义

把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

二、椭圆的标准方程

思考2：观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单？

师生互动：有两种建立平面直角坐标系的方法，焦点在轴上或在轴上.

如图，以经过椭圆两焦点的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系.设是椭圆上任意一点，焦距为，则、.又设，则

将这个方程两边平方并整理得

将两边平方并整理得

由于，得………①

思考3：观察右图，你能从中找出表示、、的线段吗？

师生互动：由椭圆的定义可以得到：，，

.若令，此时①式可以化为，并且，从而得到

………②

从上述过程可以知道，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解为坐标的点都在椭圆上，从而方程②就是椭圆的方程，我们将其称为椭圆的标准方程.

知识巩固：对于椭圆的标准方程，你怎么理解？方程中的字母有什么含义？与它相对应的椭圆有什么特点？

①焦点在轴上，焦点坐标为，焦距为（其中）；

②椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为；

③，，.

思考4：如果焦点在轴上，且的坐标分别为，的意义相同，那么椭圆的方程是什么？

师生互动：对比两个坐标系中椭圆的位置，可以发现，只需要将思考3中的椭圆标准方程的互换位置，即可得到焦点在轴上的椭圆的标准方程.

思考5：对于椭圆标准方程的两种形式，它们所对应的椭圆有什么相同点和不同点？

相同点：它们的形状、大小相同，字母的含义相同，焦距都是，都有，，.

不同点：它们的位置不同，焦点坐标不相同.

思考6：如何由椭圆的标准方程确定焦点的位置？

师生互动：通过对比，可以发现如下规律：

椭圆的焦点在轴上项的分母较大；

椭圆的焦点在轴上项的分母较大.

由于椭圆的标准方程有两种形式，所以，求椭圆的标准方程，首先要确定焦点的位置，选择好标准方程的形式，再根据条件求出和的值即可，也就是先定“型”，再定“量”.

典例解析

例1依据下列条件，分别求出椭圆的标准方程

（1）两个焦点的坐标分别是、，椭圆上某点到两焦点的距离之和等于；

（2）焦点坐标分别是、，并且经过点；

（3），；

师生互动：

（1）定型：由于焦点在轴上，设椭圆的标准方程为.

定量：由条件，所以.

所以椭圆的标准方程为.

（2）定型：由于焦点在轴上，设椭圆的标准方程为.

定量：有两种基本解题思路

方法一：先求出，从而，再由求出.

方法二：待定系数法，通过方程组求出，.

所以椭圆的标准方程为.

（3）定型：由于焦点位置不确定，所以标准方程有两种形式.

定量：由已知可得，求出，.

所以椭圆的标准方程为或.

方法反思：一般情况下，我们可以利用椭圆的定义或待定系数法来求椭圆的标准方程，当然还是要先定“型”，再定“量”.

课堂巩固练习：

求焦点在坐标轴上，且经过两点和的椭圆的标准方程.

师生互动：由题设条件不能确定椭圆的焦点在哪一条坐标轴上，因此，应对焦点的位置进行讨论.

解：若焦点在轴上，设椭圆标准方程为，

依题意有，解得，所以所求椭圆标准方程为.

若焦点在轴上，设椭圆标准方程为

依题意有，解得，与矛盾，舍去.

综上，所求椭圆标准方程为.

另解：设椭圆的方程为

依题意有，解得，

故所求椭圆标准方程为.

反思：依据本题的解题方法，你能总结