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用反比例函数解决问题

要点一、利用反比例函数解决实际问题

1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.

2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的

系数用字母表示.

（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.

（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.

（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.

要点二、反比例函数在其他学科中的应用

当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；

当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；

在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；

电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.

要点三、反比例函数中的最值问题

理论：若，，则成立（当且仅当时等号成立）

例题：对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？

，

，当且仅当时，等号成立，

由得：或（舍去），

经检验，是方程的解，

故当x=1时，函数y的值最小，最小值是2

题型一:反比例函数实际问题与图象

1．已知矩形的面积为，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（????）

A．????B．??

C．???? D．????

【答案】A

【详解】解：，

，，

故选：A．

2．当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是（????）

??

A．不大于 B．大于 C．不小于 D．小于

【答案】C

【详解】函数图象是双曲线的一条分支，且过点

，

则

故选：C．

3．伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值．“标杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图像如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要（）m．

A．2 B．1 C．6 D．4

【答案】D

【详解】根据杠杆的平衡条件可得：

，

∴．

故选：D．

4．体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（??）

??

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】D

【详解】解；∵甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，

∴设这个反比例函数表达式为，

若甲，乙，丙，丁，

过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丁点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示，

????

∵、、、在反比例函数图象上，

∴，

由图可知，，，

∴，，

由题意可知，训练中跑的路程为：，

∴甲和丙训练跑的路程相等，乙训练跑的路程小于甲和丙训练跑的路程，丁训练跑的路程大于甲和丙训练跑的路程，

∴丁训练跑的路程最多，

故选：D．

5．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（????????）

A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa

B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N

C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m

D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为

【答案】B

【详解】A.由图得：当时，，故此项说法正确；

B.当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，解得，故此项说法错误；

C.当报警器刚好开始报警时，由上得，则有，，由图求得，，解得：，故此项说法正确；

D.当报警器刚好开始报警时：，，当时，，，，，故此项说法正确．

故选：B．

题型二:利用反比例函数解决实际问题

1．如图是某种电子理疗设备工作原理的示意图,其开始工作时的温度是，然后按照一次函数关系一直增加到，这样有利于打通病灶部位的血液循环，在此温度下再沿反比例函数关系缓慢下降至，然后在此基础上又沿着一次函数关系一直将温度升至，再在此温度下沿着反比例函数关系缓慢下降至，如此循环下去．

（1）的值为；

（2）如果在分钟内温度大于或等于时，治疗效果最好，则维持这个温度范围的持