第1章 直线与方程章末题型归纳总结（解析版）.docxVIP

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第1章直线与方程章末题型归纳总结

目录

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题

经典题型一：斜率与倾斜角的关系

经典题型二：直线方程的求法及应用

经典题型三：两直线的平行与垂直

经典题型四：两直线的交点与距离问题

经典题型五：线段和差最值问题

经典题型六：直线与坐标轴围成的面积问题

经典题型七：点线对称、线点对称、线线对称问题

经典题型八：距离新定义问题

经典题型九：坐标法的应用

模块三：数学思想方法

①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题

经典题型一：斜率与倾斜角的关系

例1．（2024·高二·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】当时，直线的倾斜角为，

当时，由得到，

又易知，所以，即，

由的图像可知，，

综上，

故选：C.

例2．（2024·高二·安徽亳州·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由直线，

变形可得，

由，解得，

可得直线恒过定点，则，

结合图象可得：

若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为，

由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为.

故选：D.

例3．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意，

则，则直线的斜率为，直线的斜率为，

所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，

得的倾斜角的取值范围为，

故选：B.

例4．（2024·高二·广东汕头·期中）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设直线的倾斜角为，其中，可得，

因为，即，

结合正切函数的图象与性质，可得直线的倾斜角．

故选：A.

例5．（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（???）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意点，，则直线的斜率为

，

∵，

∴，又∵直线倾斜角的范围是，

∴当时，倾斜角有：；

当时，倾斜角有：；

综上，直线的倾斜角的取值范围为.

故选：A.

例6．（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】直线的方程可得，所以，直线过定点，

设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，

因为直线的斜率为，直线的斜率为，

因为直线经过点，且与线段总有公共点，

所以，即，因为，所以或，

故直线的倾斜角的取值范围是．

故选：D．

经典题型二：直线方程的求法及应用

例7．（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）已知点，求下列直线的方程：

(1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程；

(2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程．

【解析】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍，

此时直线方程为，将代入，可得，化简可得；

当直线不过原点时，设直线方程为，且，

即，将代入，可得，解得，

则直线方程为，化简可得；

综上，直线方程为或.

（2）点关于轴的对称点的坐标为，

由题意可知，反射光线所在的直线经过点与，

所以反射光线所在的直线斜率为，

则反射光线所在的直线方程为，

化简可得.

例8．（2024·高二·上海·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，.求:

(1)边的中线所在直线的方程；

(2)边的中垂线所在的直线的方程.

【解析】（1）因为，，，

所以的中点，所以，

则边的中线所在直线的方程为，即；

（2）因为直线的方程为，且线段的中点，

所以边的中垂线所在的直线的方程为，即.

例9．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为．

(1)求直线的方程；

(2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程．

【解析】（1）由边的垂直平分线的斜率为，得直线方程为，即，

而边中线所在的直线方程为，

由，解得，则，设点，则点，

于是，解得，即点，直线的斜率，

所以直线的方程为，即.

（2）由（1）知，，，

由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线过边的中点，或，

当直线过时，直线的斜率为，方程为，即，

当直线时，直线的斜率为，方程为，即，

所以直线l的方程为或.

例10．（2024·高二·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点.

(1)求中线的方程；

(2)求经过点且与直线平行的直