1、第七章 概率初步（续）（知识归纳+题型突破）（解析版）_1.docx

第七章概率初步（续）（知识归纳+题型突破）

知识点1：条件概率

1.概念：在古典概率模型中，事件发生之后，随机现象的结果就剩下事件中的基本事件，所以事件变成了样本空间．这个样本空间仍然是等可能的，这时事件发生的概率称为事件基于条件的概率，或在事件发生的条件下，事件发生的概率，或已知事件发生，事件发生的概率，记为.

2.公式：（适用于古典概率）；

（适用于一般情况）.

3.乘法公式：，若与独立，则，此时.

这说明在两个事件独立的情况下，条件概率等于概率．反之，若条件概率等于概率，则两

个事件是独立的.

知识点2：全概率公式

知识点3：期望

随机变量的分布体现的是随机变量取值的概率分布．把概率作为权重，对随机变量的相应取值进行加权平均后所得到的值，称为随机变量的期望

定义如果随机变量的分布是那么它的期望定义为如下的加权平均：

知识点4：期望的线性性质

1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么

2、如果、是两个随机变量，那么

．

知识点5：方差

对随机变量而言，我们用与其期望的偏差的平方的期望，即来衡量随机变量的分散度，称为的方差，记为

定义随机变量的方定义为,这样就有

知识点6：方差的性质

1、如果是一个随机变量，是一个实数，那么

2、如果，分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量，那么

知识点7：二项分布

设有一个伯努利试验，其成功概率为（），失败概率为，且．独立地重复该伯努利试验次，用表示成功的次数．把次试验看作具有个标号的位置，其中每个位置都有两种可能：成功或者失败，分别标记为1和0．“成功次数为”的事件可以看作从个位置里选择个位置标记为1，而其他标记为0，这样的选择共有种．因为每次试验都是独立地进行，所以由独立性，每种标记发生的概率是．再由概率的可加性，可得成功次数为的概率为

定义独立地重复一个成功概率为的伯努利试验次，其成功次数的分布称为二项分布，亦称成功次数服从二项分布

知识点8：超几何分布

定义从一个装有大小与质地相同的个白球、个黑球的袋中随机且不放回地取个球，其中的白球数的分布称为超几何分布：

知识点9：正态分布

1、正态密度函数

数学中的正态分布是指由下面的函数所表达的分布：，其中有两个参数：

（1）是该分布的期望或均值；

（2）是该分布的方差，且总是假设．这个函数的图像如同钟形，该函数在数学上称为正态密度函数，也称为钟形曲线．

2、正态分布

定义设是一个取实数值的随机变量．如果对任何给定的实数与（），落在区间上的概率（）等于三条直线：、、与正态密度函数的图像所围的区域面积（或者简称作此函数在该区间上的面积），那么服从正态分布，或更准确地说，服从参数为、的正态分布，记为.当、时，相应的正态分布称为标准正态分布，记作，其密度函数，称为标准正态分布的密度函数，简记作

题型一：条件概率

例题1．（23·24高三上·上海宝山·阶段练习）已知某种生物由出生算起活到60岁的概率是0.8，活到65岁的概率是0.6，则一头60岁的该种动物活到65岁的概率是.

【答案】/

【分析】利用条件概率公式结合题意求解即可

【详解】记事件为活到60岁，事件为活到65岁，则

，

所以,

故答案为：

例题2．（22·23高二下·上海浦东新·期中）已知，，则．

【答案】/0.75

【分析】由条件概率公式求解即可.

【详解】由题意得，

而，得，

而，解得，

故答案为：.

例题3．（22·23高三下·上海宝山·阶段练习）已知某产品的一类部件由供应商A和B提供，占比分别为和，供应商A提供的该部件的良品率为，供应商B提供的该部件的良品率为．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B的概率为（用分数作答）

【答案】

【分析】利用全概率公式，条件概率公式求解即可.

【详解】设“某件部件不是良品”为事件，

“这个部件来自供应商B”为事件，

，

，

.

故答案为：

巩固训练

1．（22·23高二下·上海金山·期末）已知，，则．

【答案】/

【分析】利用条件概率公式可求得的值.

【详解】因为，由条件概率公式可得.

故答案为：.

2．（23·24高三上·上海长宁·期中）从这个连续正整数中不放回地任取2个数，设“第一次取到的是质数”为事件A，又设“第二次取到的不是质数”为事件，且，则的所有可能值的和为.

【答案】15

【分析】根据条件概率得出在中质数比不是质数的数多一个，由质数合数的定义判断可得的可能值，再求和即得．

【详解】由知在中质数比不是质数的数多一个，因此只可能为3，5，7共3个，而．

故答案为：15.

3．（2023·陕西西安·模拟预