2024-2025学年高二数学选择性必修第一册（配北师大版）课件 4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系.pptx

;基础落实·必备知识一遍过;课程标准;;知识点1空间中的平行与垂直

设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量,则

l∥m或l与m重合?l∥m;l∥α或l?α?l⊥n1;

?

两种情况易忽略

?

α∥β或α与β重合?n1∥n2;l⊥m?l⊥m;l⊥α?l∥n1;α⊥β?n1⊥n2.;名师点睛

1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量基本定理,先证明两条直线的方向向量平行.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,先证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示.

2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.;思考辨析

1.用向量证明平行关系时要注意什么?;自主诊断;证明建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方体的棱长为2.∵E,F分别是平面AB1,平面A1C1的中心,

∴E(2,1,1),F(1,1,2).;2.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,E是CD的中点,F是BC的中点.求证:平面EAD1⊥平面EFD1.;证明建立如图所示的空间直角坐标系.;取x1=1,则y1=1,z1=1.

∴n1=(1,1,1)是平面EAD1的一个法向量.

设n2=(x2,y2,z2)是平面EFD1的法向量.

取x2=2,则y2=-1,z2=-1,

∴n2=(2,-1,-1)是平面EFD1的一个法向量.

又n1·n2=1×2+1×(-1)+1×(-1)=0,

∴n1⊥n2,∴平面EAD1⊥平面EFD1.;3.[人教A版教材习题]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,CB=1,CA=2,AA1=,M是CC1的中点.求证:AM⊥BA1.;知识点2三垂线定理及其逆定理

简记为“线投垂直?线斜垂直”?

三垂线定理若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直,则它也和这条斜线垂直.

类似地可以得到:

简记为“线斜垂直?线投垂直”?

三垂线定理的逆定理若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直.;思考辨析

如果将三垂线定理中“在这个平面内”的条件去掉,结论仍然成立吗?;自主诊断

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)若a是平面α的斜线,直线b垂直于a在平面α内的投影,则a⊥b.()

(2)若a是平面α的斜线,平面β内的直线b垂直于a在平面α内的投影,则a⊥b.()

(3)若a是平面α的斜线,直线b?α且b垂直于a在另一平面β内的投影,则a⊥b.()

(4)若a是平面α的斜线,b∥α,直线b垂直于a在平面α内的投影,则a⊥b.();2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM的位置关系为()

A.平行

B.异面

C.垂直

D.以上都不对;解析如图所示,取CD的中点P,连接PP,AP,MP,由长方体性质及已知,易知PP⊥平面ABCD,所以MP为PM在平面ABCD内的投影.由题意得,;;探究点一利用向量方法证明线线平行;证明(方法一)以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.;规律方法要证明两直线平行,可先求出两直线的方向向量,然后证明两直线的方向向量共线,从而证明两直线平行.;变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1.;证明以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),;探究点二利用向量方法证明线面平行;规律方法利用空间向量证明线面平行的方法

(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平行.

(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.

(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.;变式训练2如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,

AB=,AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM∥平面BDE.;证明建立如图所示的空间直角坐标系