第11章 简单几何体（压轴题专练）（解析版）_1.docx

第11章简单几何体（压轴题专练）

题型1：立体图形的直观图难点

1．如图所示，一个水平放置的斜二测画法画出的直观图是，其中为平行四边形，则原的周长是．

??

【答案】

【分析】根据平面图形的直观图的斜二测画法原理得到原的形状，计算即可求解.

【解析】由平面图形的直观图的斜二测画法原理可知，原是等腰三角形，如图：

????

其中，，且，

所以，

所以原的周长为.

故答案为：

2．用斜二测画法得到的多边形的直观图为多边形，试探索多边形与多边形的面积之间有无确定的数量关系.

【答案】有确定的数量关系

【解析】先确定三角形的直观图和原始图的面积关系，再将多边形转化为三角形得到答案.

【解析】①设在中，为高边平行于轴，用斜二测画法得到其直观图为，

则有，的高为，

所以.

②当的三边都不与轴平行时，可过其中一个顶点作与轴平行的直线与对边相交，不妨设过点作与轴平行的直线交于点，则将分成和，

由①可知.

③对多边形，可连接，，…，，得到()个三角形，

即，，…，，

由①②知

综上：可知多边形与其直观图多边形的面积之间有确定的数量关系.

【点睛】本题考查了斜二测画法得到的直观图与原始图的面积关系，将多边形转化为三角形是解题的关键.

题型2：柱体的截面

3．已知正方体的边长为1，球的半径为1，记正方体内部的球表面为曲面，过点作平面与曲面相切，记切点为，平面与平面所成二面角为，则当最小时，平面截正方体所形成图形的周长为.

??

【答案】

【分析】根据二面角的概念及正方体、球的对称性确定平面为多边形AMKQN，利用勾股定理求周长即可.

【解析】由题意，曲面为以C为球心落在正方体内的球面，

根据球和正方体的对称性可知，平面与平面所成二面角最小值时，

过点作平面与曲面相切时作纵截面，如图：长方形中，

??

过点A与以C为圆心半径为1的圆相切于点P，与交于点E，则，连接CP，

在中，，所以，

利用平面基本性质作出平面截正方体所形成图形，如图，多边形AMKQN即为所作截面.

??

因为，所以，

又，所以，

则，

又，且，所以，所以，

则，

又，所以，

由对称性知，，

所以截面周长为

.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题的难点主要在于截面的确定，根据二面角的概念分析，再结合球与正方体的对称性找到截面的位置，然后根据平面的性质确定即可.

4．如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由正方体的性质证明平面，同样由正方体性质知时，截面与棱相交于它们的中点处，计算出，然后从1开始增加，平面逐渐平移，由棱锥平行于底面的截面的性质易得的表达式，，然后确定在时，是常数，与的情形相似可得．从而得出结论．

【解析】??

如图，连接，，平面，平面，则，

又，，平面，平面，

所以平面，又平面，所以，

同理，，平面，平面，所以平面，

因此平面与平面重合或平行，

取的中点，连接，则，，

同理可证平面，由于，，所以三棱锥是正三棱锥，

与平面的交点是的中心，

正方体棱长为，则，，

所以，所以，

由棱锥的平行于底面的截面的性质知，当平面从平面平移到平面时，，即，

，，显然，

??

??

平面过平面再平移至平面时，如图，把正方形沿旋转到与正方形在同一平面内，

如图，则共线，由正方形性质得，同理，，

因此此种情形下，截面的周长与截面的周长相等，平移平面，一直到平面位置处，

由正方体的对称性，接着平移时，截面周长逐渐减少到，

综上，的值域是．

故选：A.

【点睛】方法点睛:利用正方体性质求出截面初始位置（）时，截面周长，然后由棱锥的性质求出（），再通过空间问题平面化的思想（结合对称性）求出时的值，由对称性可得时函数值的取值情况．

5．如图，正方体的棱长为1，为对角线上的一点（不与点、重合），过点作平面与正方体表面相交形成的多边形记为.

①若是三角形，则必定是锐角三角形

②若，则只可能为三角形或六边形

③若且点为对角线的三等分点，则的周长为

④若点为对角线的三等分点，则点到各顶点的距离的不同取值有4个

以上所有正确结论的个数为（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】在正方体中，体对角线与其不相交的面对角线都垂直，作出几个截面可确定其形状.建立空间直角坐标系，利用空间向量可判断位置关系与计算距离.

【解析】对于①：若是三角形，当周长最大时，平面为平面或平面.

且为等边三角形.由“大角对大边，大边对大角”，根据对称性我们可固定,

则截面为，易知为最大角,记,.

则恒成立.

所以必定是锐角三角形.正确.

对于②：在正方体中体对角线与平面，平面，平面都垂直.由图可知，平面在运动过程中只可能为三角